Question

19．如圖，已知平行四邊形ABCD的對角線相交于點O，點E是邊BC的中點，聯(lián)結(jié)DE交AC于點G．設(shè)$\overrightarrow{AD}$=$\vec a$，$\overrightarrow{DC}$=$\vec b$，
（1）試用$\vec a$、$\vec b$表示向量$\overrightarrow{OC}$；
（2）試用$\vec a$、$\vec b$表示向量$\overrightarrow{DG}$．

Answer 1

分析 （1）由$\overrightarrow{AD}$=$\vec a$，$\overrightarrow{DC}$=$\vec b$，利用三角形法則，可求得$\overrightarrow{AC}$，又由四邊形ABCD是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的對角線互相平分，即可求得答案；
（2）易得△ADG∽△CEG，然后由相似三角形的對應(yīng)邊成比例，證得AG：CG=AD：CE=2：1，繼而求得$\overrightarrow{AG}$，則可求得答案．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{AD}$=$\vec a$，$\overrightarrow{DC}$=$\vec b$，
∴$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{DC}$=$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴$\overrightarrow{OC}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AC}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow$；

（2）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴△ADG∽△CEG，
∴AG：CG=AD：CE，
∵點E是邊BC的中點，
∴AD：CE=2：1，
∴AG：CG=2：1，
∴AG：AC=2：3，
∴$\overrightarrow{AG}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AC}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow$，
∴$\overrightarrow{DG}$=$\overrightarrow{AG}$-$\overrightarrow{AD}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow$-$\overrightarrow{a}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow$-$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{a}$．

點評 此題考查了平面向量的知識、相似三角形的判定與性質(zhì)以及平行四邊形的性質(zhì)．注意掌握三角形法則的應(yīng)用是關(guān)鍵．