闂傚倸鍊搁崐鎼佸磹閹间礁纾归柟闂寸绾惧綊鏌熼梻瀵割槮缁炬儳缍婇弻鐔兼⒒鐎靛壊妲紒鐐劤缂嶅﹪寮婚悢鍏尖拻閻庨潧澹婂Σ顔剧磼閻愵剙鍔ょ紓宥咃躬瀵鎮㈤崗灏栨嫽闁诲酣娼ф竟濠偽i鍓х<闁绘劦鍓欓崝銈嗙節閳ь剟鏌嗗鍛姦濡炪倖甯掗崐褰掑吹閳ь剟鏌f惔銏犲毈闁告瑥鍟悾宄扮暦閸パ屾闁诲函绲婚崝瀣уΔ鍛拺闁革富鍘奸崝瀣煕閵娿儳绉虹€规洘鍔欓幃娆忣啅椤旇棄鐦滈梻渚€娼ч悧鍡椢涘Δ鍐當闁稿本绮庣壕濂告煃瑜滈崜姘辩箔閻旂厧鐒垫い鎺嗗亾闁伙絽鍢查オ浼村醇椤愶絾娅嶉梻浣虹帛閸ㄩ潧螞濞嗘垟鍋撻棃娑氱劯婵﹥妞藉Λ鍐ㄢ槈濮橆剦鏆繝纰樻閸嬪懘銆冮崱娑樼疄闁靛⿴鐓堝Σ鍓х磽娴d粙鍝洪悽顖ょ節楠炲啴鍩¢崨顓狀槰闂佽偐鈷堥崗娑氭濠靛鈷掑ù锝堟鐢稑銆掑顓ф疁鐎规洘濞婇弫鎰板幢濡搫浼庨梻渚€鈧偛鑻晶鎾煛鐏炵偓绀嬬€规洜鍘ч埞鎴﹀炊閼哥楠忛梻鍌欑閹猜ゆ懌闂佸湱鎳撳ú顓烆嚕婵犳艾鐒洪柛鎰╁妿缁愮偤鏌h箛鏇炰沪闁搞劍绻傞埢浠嬵敂閸涱垳鐦堥梺闈涚箞閸ㄦ椽宕甸埀顒€鈹戦埥鍡椾簼缂佽鍊块幃鎯х暋閹佃櫕鏂€闂佺硶妾ч弲娑㈠箖閹达附鈷戠紒顖涙礀婢ф煡鏌涢弮鈧敮鐐烘嚍鏉堛劎绡€婵﹩鍘搁幏娲⒑閸涘﹦绠撻悗姘煎墴閸┾偓妞ゆ帊鐒﹂崐鎰版煙椤旂煫顏堝煘閹寸姭鍋撻敐鍛粵闁哄懏绮岄—鍐Χ閸℃顫囬梺绋匡攻椤ㄥ牊绔熼弴鐔洪檮缂佸娉曟鍥⒑閸撴彃浜濈紒瀣灦娣囧﹪鎮剧仦绋夸壕閻熸瑥瀚粈鈧梺娲诲墮閵堟悂宕洪埀顒併亜閹烘垵鏋ゆ繛鍏煎姈缁绘盯宕f径鍛窗闂佽桨绶¢崳锝夌嵁閹烘嚦鏃傗偓锝庡墰閳笺倖绻濋悽闈涒枅婵炰匠鍥舵晞闁圭増婢橀弸渚€鏌涢弴銊ョ仭闁绘挶鍨烘穱濠囶敍濞嗘帩鍔呭┑鈩冨絻閸㈡煡鈥︾捄銊﹀枂闁告洦鍓涢ˇ鏉库攽椤旂》鏀绘俊鐐舵閻g兘濡搁敂鍓х槇闂佸憡娲﹂崢鍓х玻濡ゅ懏鈷掑ù锝呮嚈閸︻厸鍋撳☉鎺撴珕缂佺粯绋掔换婵嬪炊瑜忛悾楣冩煟韫囨洖浠╃悮娆撴煛鐎n亪鍙勯柡宀€鍠栭獮鍡氼檨闁搞倗鍠栭弻娑橆潨閳ь剚绂嶇捄渚綎婵炲樊浜滄导鐘绘煕閺囥劌澧柛瀣Ч濮婃椽宕ㄦ繝鍐弳闂佹椿鍘奸崐鍧楃嵁閸愵煈娼ㄩ柍褜鍓熼獮鍐煛閸涱喖浠洪梺姹囧灮椤n喚妲愰弻銉︹拻濞达綀娅g敮娑㈡煟閻旀潙鐏茬€规洘鍨块獮妯肩磼濡厧骞堥梻渚€娼ф灙闁稿孩濞婂畷娲晲閸ワ絽浜炬繛鍫濈仢閺嬫稒銇勯銏℃暠濞e洤锕獮鏍ㄦ媴閸濄儱骞愰梻浣呵归張顒勬儗椤旀崘濮冲ù鐘差儐閳锋帒霉閿濆懏鍤堢憸鐗堝笒鐎氬銇勯幒鎴濃偓濠氭儗濞嗘挻鐓欓弶鍫熷劤閻︽粓鏌℃担绋库偓鍧楀蓟閵娾晜鍋嗛柛灞剧☉椤忥拷婵犵數濮烽弫鍛婃叏閻戣棄鏋侀柛娑橈攻閸欏繘鏌i幋锝嗩棄闁哄绶氶弻娑樷槈濮楀牊鏁鹃梺鍛婄懃缁绘﹢寮婚敐澶婄闁挎繂妫Λ鍕⒑閸濆嫷鍎庣紒鑸靛哺瀵鈽夊Ο閿嬵潔濠殿喗顨呴悧濠囧极妤e啯鈷戦柛娑橈功閹冲啰绱掔紒姗堣€跨€殿喖顭烽弫鎰緞婵犲嫷鍚呴梻浣瑰缁诲倸螞椤撶倣娑㈠礋椤栨稈鎷洪梺鍛婄箓鐎氱兘宕曟惔锝囩<闁兼悂娼ч崫铏光偓娈垮枛椤兘骞冮姀銈呯閻忓繑鐗楃€氫粙姊虹拠鏌ュ弰婵炰匠鍕彾濠电姴浼i敐澶樻晩闁告挆鍜冪床闂備浇顕栭崹搴ㄥ礃閿濆棗鐦辩紓鍌氬€风欢锟犲闯椤曗偓瀹曞綊骞庨挊澶岊唹闂侀潧绻掓慨顓炍i崼銉︾厪闊洦娲栧暩濡炪倖鎸诲钘夘潖濞差亜浼犻柛鏇ㄥ亝濞堟粓姊虹粙娆惧剱闁圭懓娲璇测槈閵忕姈褔鏌涘☉鍗炵€虹憸鏃堝蓟閿涘嫪娌柛鎾楀嫬鍨卞┑鐘殿暜缁辨洟宕楀鈧妴浣糕枎閹炬潙浜楅柟鐓庣摠钃遍悗姘矙濮婂宕掑▎鎰偘濠碘剝銇滈崝搴e垝閸喐濯撮悹鍥ュ劜濡炰粙銆佸鈧慨鈧柣妯煎劋閹蹭即姊绘担鍛婃儓婵炴潙瀚Σ鎰板即閵忊€充痪闂侀€炲苯澧存慨濠冩そ瀹曨偊宕熼鈧粣娑㈡⒑缁嬪簱鐪嬮柛瀣攻娣囧﹪鎮滈懞銉︽珕闁哄鍋炴竟鍡涙儎鎼淬劍鈷掑ù锝囨嚀椤曟粍淇婇锛勭獢妞ゃ垺淇洪ˇ鏌ユ煃鐠囪尙孝妞ゆ挸鍚嬪鍕偓锝庡墮楠炲秵淇婇悙顏勨偓鏍ь潖婵犳碍鍋ら柡鍌氱氨閺嬫梹绻濇繝鍌涘櫝闁稿鎸鹃幉鎾礋椤掑偆妲版俊鐐€戦崝灞轿涘Δ鍜佹晪闁靛鏅涚粈瀣亜閹烘垵鈧鎯侀崼鐔虹閺夊牆澧介崚鏉款熆閻熷府宸ラ摶鐐寸節婵犲倻澧涢柍閿嬪浮閺屾稓浠﹂幑鎰棟闂侀€炲苯澧存い銉︽尵閸掓帡宕奸悢铏规嚌闂侀€炲苯澧撮柣娑卞枟瀵板嫰骞囬鍌欑礈闂佺儵鍓濈敮濠囨倿閿曗偓椤啯绂掔€n亝鐎梺鍛婂姦閸犳牜澹曢崗鍏煎弿婵☆垵顕ч弫鍓х磼閸楃偛鑸归柍瑙勫灴閹晠顢欓懖鈺€绱橀梻浣虹《閺呮粓鎮ч悩鑼殾婵犻潧顑呴崡鎶芥煏韫囨洖孝鐎殿喚鍏樺娲濞戣鲸孝闂佸搫鎳忕划鎾诲箖閿熺姵鍋勯柛蹇氬亹閸樼敻姊绘笟鍥у伎缂佺姵鍨垮绋库槈閵忥紕鍘遍梺鍝勫€归娆撳磿閺冨牊鐓涢悘鐐垫櫕鏁堥梺鍝勮閸斿酣鍩€椤掑﹦绉靛ù婊呭仦鐎电厧鐣濋崟顑芥嫼闁荤姴娲犻埀顒冩珪閻忓牏绱撻崒姘毙㈤柨鏇ㄤ邯閹即顢欓悾宀€鎳濋梺閫炲苯澧撮柣娑卞櫍楠炴帒螖閳ь剛绮婚敐鍡欑瘈闁割煈鍋勬慨澶愭煃瑜滈崜婵嗏枍閺囩姵宕叉繝闈涱儐閸嬨劑姊婚崼鐔衡棩缂侇喖鐖煎娲偡閺夋寧姣愮紓浣虹帛閿氶柣锝呭槻閳规垿宕辫箛鏃傗偓濠氭⒑鐟欏嫬鍔ら柣銈呮喘楠炴寮撮姀鈾€鎷虹紓鍌欑劍钃遍柍閿嬪浮閺屾稑螣閻樺弶鍣介柣顓炴閺屾盯寮撮妸銉т画闂佺粯鎸哥换姗€寮诲☉銏╂晝闁挎繂娲ㄩ悾鍝勵渻閵堝啫鍔滅紒顔肩Ч婵$敻宕熼鍓ф澑闂侀潧顧€缁犳垿顢旈敓锟�
精英家教網(wǎng) > 初中數(shù)學(xué) > 題目詳情
閱讀材料:如圖,△ABC中,AB=AC,P為底邊BC上任意一點(diǎn),點(diǎn)P到兩腰的距離分別為r1,r2,腰上的高為h,連接AP,則S△ABP+S△ACP=S△ABC,即:
AB•r1+
AC•r2=
AB•h,∴r1+r2=h
(1)理解與應(yīng)用
如果把“等腰三角形”改成“等邊三角形”,那么P的位置可以由“在底邊上任一點(diǎn)”放寬為“在 三角形內(nèi)任一點(diǎn)”,即:已知邊長(zhǎng)為2的等邊△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)P到各邊的距離分別為r1,r2,r3,試證明:
.
(2)類比與推理
邊長(zhǎng)為2的正方形內(nèi)任意一點(diǎn)到各邊的距離的和等于______;
(3)拓展與延伸
若邊長(zhǎng)為2的正n邊形A1A2…An內(nèi)部任意一點(diǎn)P到各邊的距離為r1,r2,…rn,請(qǐng)問(wèn)r1+r2+…rn是否為定值(用含n的式子表示),如果是,請(qǐng)合理猜測(cè)出這個(gè)定值.

【答案】分析:(1)由條件可以求出邊長(zhǎng)為2的等邊三角形的高為
,連接PA,PB,PC,仿照面積的割補(bǔ)法,得出S△PBC+S△PAC+S△PAB=S△ABC,而這幾個(gè)三角形的底相等,故化簡(jiǎn)后可得出高的關(guān)系.
(2)如圖正方形過(guò)正方形內(nèi)的任一點(diǎn)P向四邊做垂線就可以求出到正方形四邊的距離和為正方形邊長(zhǎng)的2倍,從而得出結(jié)論.
(3)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為正n邊形時(shí),根據(jù)正n邊形計(jì)算面積的方法,從中心向各頂點(diǎn)連線,可得出n個(gè)全等的等腰三角形,用邊長(zhǎng)2為底,邊心距為高,可求正n邊形的面積,然后由P點(diǎn)向正n多邊形,又可把正n邊形分割成n個(gè)三角形,以邊長(zhǎng)為底,以r1、r2、…、rn為高表示面積,列出面積的等式,可求證r1+r2+…+rn為定值.
解答:解:(1)分別連接AP,BP,CP,作AD⊥BC于D,
∴∠ADB=90°,
∵△ABC是等邊三角形,
∴AB=BC=AC=2,∠ABC=60°,
∴∠BAD=30°,
∴BD=1,在Rt△ABD中,由勾股定理,得
∴AD=
∵S△ABP+S△BCP+S△ACP=S△ABC.
∴
AB•r1+
BC•r2+
AC•r3=
BC×AD,
∵BC=AC=AB,
∴r1+r2+r3=AD.
∴r1+r2+r3=
(2)如圖2,∵四邊形ABCD是正方形,
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°,AB=BC=CD=AD=2.
∵PE⊥AB,PF⊥BC,PG⊥DC,PH⊥AD,
∴四邊形PEBF是矩形,四邊形PFCG是矩形,四邊形PGDH是矩形,四邊形PHAE是矩形,
∴PE=AH,PF=BE,PG=HD,PH=AE,
∴PE+PF+PG+PH=AH+BE+HD+AE=AD+AB=4.
故答案為4.
(3)設(shè)正n邊形的邊心距為r,且正n邊形的邊長(zhǎng)為2,
∴S正n邊形=
.r=
,
∵S正n邊形=
×2×r1+
×2×r2+
×2×r1+…+
×2×rn,
∴
×2×r1+
×2×r2+
×2×r1+…+
×2×rn=
×n,
∴r1+r2+…+rn=nr=
(為定值).

點(diǎn)評(píng):本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì),正方形的性質(zhì)及利用面積分割法,求線段之間的關(guān)系,充分體現(xiàn)了面積法解題的作用.
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相關(guān)習(xí)題
科目:初中數(shù)學(xué)
來(lái)源:
題型:閱讀理解
25、閱讀材料:
如圖(一),在已建立直角坐標(biāo)系的方格紙中,圖形①的頂點(diǎn)為A、B、C,要將它變換到圖④(變換過(guò)程中圖形的頂點(diǎn)必須在格點(diǎn)上,且不能超出方格紙的邊界).
例如:將圖形①作如下變換(如圖二).
第一步:平移,使點(diǎn)C(6,6)移至點(diǎn)(4,3),得圖②;
第二步:旋轉(zhuǎn),繞著點(diǎn)(4,3)旋轉(zhuǎn)180°,得圖③;
第三步:平移,使點(diǎn)(4,3)移至點(diǎn)O(0,0),得圖④.
則圖形①被變換到了圖④.

解決問(wèn)題:
(1)在上述變化過(guò)程中A點(diǎn)的坐標(biāo)依次為:
(4,6)→(2,3)→(6,3)→(2,0)
(2)如圖(三),仿照例題格式,在直角坐標(biāo)系的方格紙中將△DEF經(jīng)過(guò)平移、旋轉(zhuǎn)、翻折等變換得到△OPQ.(寫(xiě)出變換步驟,并畫(huà)出相應(yīng)的圖形)
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科目:初中數(shù)學(xué)
來(lái)源:
題型:閱讀理解
閱讀材料:
如圖1,過(guò)△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別作出與水平線垂直的三條直線,外側(cè)兩條直線之間的距離叫△ABC的“水平寬”(a),中間的這條直線在△ABC內(nèi)部線段的長(zhǎng)度叫△ABC的“鉛垂高(h)”.我們可得出一種計(jì)算三角形面積的新方法:S△ABC=1 2
ah,即三角形面積等于水平寬與鉛垂高乘積的一半.
解答下列問(wèn)題:
如圖2,拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為點(diǎn)C(-1,-4),交x軸于點(diǎn)A(-3,0),交y軸于點(diǎn)B.
(1)求拋物線和直線AB的解析式;
(2)點(diǎn)P是拋物線(在第三象限內(nèi))上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),連接PA,PB,當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到頂點(diǎn)C時(shí),求△CAB的鉛垂高CD及S△CAB;
(3)是否存在一點(diǎn)P,使S△PAB=S△CAB,若存在,求出P點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué)
來(lái)源:
題型:閱讀理解
(2013•益陽(yáng))閱讀材料:如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(x1,y1),B(x2,y2),AB中點(diǎn)P的坐標(biāo)為(xp,yp).由xp-x1=x2-xp,得xp=x1+x2 2
,同理yp=y1+y2 2
,所以AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(x1+x2 2
,y1+y2 2
).由勾股定理得AB2=. x2- x1
.
2+. y2- y1
.
2,所以A、B兩點(diǎn)間的距離公式為AB=(x2-x1)2+(y2-y1)2
.
注:上述公式對(duì)A、B在平面直角坐標(biāo)系中其它位置也成立.
解答下列問(wèn)題:
如圖2,直線l:y=2x+2與拋物線y=2x2交于A、B兩點(diǎn),P為AB的中點(diǎn),過(guò)P作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn)C.
(1)求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)及C點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)連結(jié)AB、AC,求證△ABC為直角三角形;
(3)將直線l平移到C點(diǎn)時(shí)得到直線l′,求兩直線l與l′的距離.
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科目:初中數(shù)學(xué)
來(lái)源:
題型:
閱讀材料:如圖,AB=AC,BD=CD,則可證得AD平分∠BAC,據(jù)此我們引出了“角平分線”的尺規(guī)作法.

問(wèn)題:如圖,AD=AE,AB=AC,也可證得AP平分∠BAC,據(jù)此我們能否引出了“角平分線”的第二種尺規(guī)作法呢?請(qǐng)?jiān)趫D中嘗試著畫(huà)出∠α的平分線.
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科目:初中數(shù)學(xué)
來(lái)源:
題型:閱讀理解
閱讀材料:

如圖1,AB、CD交于點(diǎn)O,我們把△AOD和△BOC叫做對(duì)頂三角形.
結(jié)論:若△AOD和△BOC是對(duì)頂三角形,則∠A+∠D=∠B+∠C.
結(jié)論應(yīng)用舉例:
如圖2:求五角星的五個(gè)內(nèi)角之和,即∠A+∠B+∠ACE+∠ADB+∠E的度數(shù).
解:連接CD,由對(duì)頂三角形的性質(zhì)得:∠B+∠E=∠1+∠2,
在△ACD中,∵∠A+∠ACD+∠ADC=180°,
即∠A+∠3+∠1+∠2+∠4=180°,
∴∠A+∠ACE+∠B+∠E+ADB=180°
即五角星的五個(gè)內(nèi)角之和為180°.
解決問(wèn)題:
(1)如圖①,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°360°;
(2)如圖②,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=540°540°;
(3)如圖③,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H=720°720°;
(4)如圖④,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N=1080°1080°;
請(qǐng)你從圖③或圖④中任選一個(gè),寫(xiě)出你的計(jì)算過(guò)程.
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