Question

等腰△ABC，AB＝AC＝8，∠BAC＝120°，P為BC的中點(diǎn)，小慧拿著含30°角的透明三角板，使30°角的頂點(diǎn)落在點(diǎn)P，三角板繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)．

(1)如圖①，當(dāng)三角板的兩邊分別交AB，AC于點(diǎn)E，F(xiàn)時(shí)．求證：△BPE∽△CFP；

(2)操作：將三角板繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)到圖②情形時(shí)，三角板的兩邊分別交BA的延長線于點(diǎn)E，交邊AC于點(diǎn)F．

①探究1：△BPE與△CFP還相似嗎？(只需寫出結(jié)論)

②探究2：連接EF，△BPE與△PFE是否相似？請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1)∵AB＝AC＝8，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°，∴∠BPE＋∠BEP＝150°，∵∠EPF＝30°，∴∠BPE＋∠FPC＝150°，∴∠BEP＝∠CPF，∴△BPE∽△CFP． 　　(2)①探究1：△BPE與△CFP相似，其理由與第(1)小題相同．②探究2：∵△BPE∽△CFP，∴BE∶PC＝PE∶PF，∵P為BC的中點(diǎn)，∴PB＝PC，∴BE∶PB＝PE∶PF，∵∠EPF＝∠B＝30°，∴△BPE∽△PFE．

提示：

判定兩個三角形相似有三種方法：如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形相似；如果兩個三角形的兩組對應(yīng)邊的比相等，并且夾角相等，那么這兩個三角形相似；如果兩個三角形的三組對應(yīng)邊的比相等，那么這兩個三角形相似．