Question

如圖．在平面直角坐標(biāo)系中，邊長為的正方形ABCD的頂點(diǎn)A、B在x軸上，連接OD、BD、△BOD的外心I在中線BF上，BF與AD交于點(diǎn)E．
（1）求證：△OAD≌△EAB；
（2）求過點(diǎn)O、E、B的拋物線所表示的二次函數(shù)解析式；
（3）在（2）中的拋物線上是否存在點(diǎn)P，其關(guān)于直線BF的對(duì)稱點(diǎn)在x軸上？若有，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（4）連接OE，若點(diǎn)M是直線BF上的一動(dòng)點(diǎn)，且△BMD與△OED相似，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：（1）證明IF⊥OD，進(jìn)而得到∠FED=∠EBA；又因?yàn)镈A=BA，且∠OAD=∠EAB=90°，故可證明△OAD≌△EAB；
（2）首先求出點(diǎn)B、E的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；
（3）由于直線BD與x軸關(guān)于直線BF對(duì)稱，則拋物線與直線BD的交點(diǎn)即為所求之點(diǎn)P．分別求出拋物線與直線BD的解析式，聯(lián)立解方程，即可求出交點(diǎn)（點(diǎn)P）的坐標(biāo)；
（4）首先證明△OED是頂角為135°的等腰三角形，若△BMD與△OED相似，則△BMD必須是等腰三角形．如答圖2所示，在直線BF上能使△BMD為等腰三角形的點(diǎn)M有4個(gè)，分別記為M₁，M₂，M₃，M₄，其中符合題意的是點(diǎn)M₁，M₃．
解答：（1）證明：如答圖1所示，連接ID，IO，

∵I為△BOD的外心，∴IO=ID，
又F為OD的中點(diǎn)，∴IF⊥OD．
∴∠DEF+∠FDE=∠AEB+∠ABE=90°，又∠DEF=∠AEB，
∴∠FED=∠EBA．而DA=BA，且∠OAD=∠EAB=90°，
∴△OAD≌△EAB．

（2）解：由（1）知IF⊥OD，又BF為中線，
∴BO=BD=AB=2，
∴OA=BO-AB=2-．
由（1）知△OAD≌△EAB，∴AE=OA=2-，
∴E（2-，2-），B（2，0）．
設(shè)過點(diǎn)O、B、E的拋物線解析式為y=ax²+bx，
則有，
解得，
∴拋物線的解析式為：y=x²+x．

（3）解：∵直線BD與x軸關(guān)于直線BF對(duì)稱，
∴拋物線與直線BD的交點(diǎn)，即為所求之點(diǎn)P．
由（2）可知，B（2，0），D（2-，），可得直線BD的解析式為y=-x+2．
∵點(diǎn)P既在直線y=-x+2上，也在拋物線y=x²+x上，
∴-x+2=x²+x，解此方程得：x=2或x=，
當(dāng)x=2時(shí)，y=-x+2=0；當(dāng)x=時(shí)，y=-x+2=2-，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，0）（與點(diǎn)B重合），或（，2-）．

（4）解：∵DBO=45°，BD=BO，BF⊥OD，
∴∠EBA=22.5°，由（1）知∠ODA=22.5°，故∠DOA=67.5°，OA=EA，
∴∠EOA=45°，∠DOE=22.5°，即△OED是頂角為135°的等腰三角形．
若△BMD與△OED相似，則△BMD必須是等腰三角形．
如答圖2所示，在直線BF上能使△BMD為等腰三角形的點(diǎn)M有4個(gè)，分別記為M₁，M₂，M₃，M₄，其中符合題意的是點(diǎn)M₁，M₃．

∵DM₁=DB=2，OA=2-，∴M₁（-，）．
由（1）知B（2，0），E（2-，2-），故直線BE的解析式為y=（1-）x-2+2．
I是△BOD的外心，它是OB的垂直平分線x=1與OD的垂直平分線BE的交點(diǎn)，
∴I（1，-1），即M₃（1，-1）．
故符合題意的M點(diǎn)的坐標(biāo)為（-，），（1，-1）．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)綜合題型：第（1）問涉及全等三角形的證明；第（2）問涉及利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)與二次函數(shù)的解析式；第（3）問涉及軸對(duì)稱知識(shí)，以及拋物線與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題；第（4）問涉及相似三角形的判定，以及點(diǎn)的坐標(biāo)的確定與計(jì)算．本題涉及考點(diǎn)眾多，難度較大，對(duì)數(shù)學(xué)能力要求較高．