Question

某蔬菜開發(fā)區(qū)種植西紅柿，由歷年行情得知，從二月一日起的300天內(nèi)，西紅柿   市場售價P與上市的時間t的關(guān)系用圖1的一條折線表示，西紅柿的種植成本Q與上市時 間t的關(guān)系用圖2的拋物線表示（市場售價和種植成本的單位；元/100kg）

（1）寫出圖1中表示的市場售價P與時間t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出t的取值范圍；
（2）寫出圖2表示的種植成本Q與時間t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出t的取值范圍；
（3）若市場售價減去種植成本為純收益，問何時上市的西紅柿收益最大？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)圖象①，設(shè)出函數(shù)關(guān)系式，分別找出兩個點的坐標(biāo)，代入即可求出y與t的函數(shù)關(guān)系式；
（2）根據(jù)圖象②，找出三個點，運用待定系數(shù)法即可求出函數(shù)關(guān)系式；
（3）設(shè)純收益為h，則純收益=市場售價-種植成本，由于y是分段函數(shù)，所以h也是分段函數(shù)，求最大純收益單價，就要在每一個分段函數(shù)內(nèi)，根據(jù)自變量取值范圍，函數(shù)性質(zhì)來確定．

解答：：解：（1）設(shè)函數(shù)圖象為y=kt+b，
當(dāng)0≤t≤200時，由圖可知點（0，300），（200，100）在函數(shù)圖象上，
代入解析式得：

b=300 200k+b=100

，
解得：

k=-1 b=300

，
∴y=-t+300
同理可得：
當(dāng)200≤t≤300時，解析式為y=2t-300，
故銷售單價y與時間t的函數(shù)關(guān)系式為：y=

-t+300(0≤t≤200) 2t-300(200≤t≤300)

；

（2）根據(jù)圖象，設(shè)函數(shù)解析式為z=a（t-150）²+100，
把點（50，150）代入解析式的：150=a×10000+100，
解得：a=

1

200

，
故解析式為：z=

1

200

（t-150）²+100；

（3）設(shè)t時刻的純收益為h，則由題意得h=P-Q，即h=

- 1 200  t2+ 1 2 t+ 175 2 (0≤t≤200) - 1 200 t2+ 7 2 t- 1025 2 (200＜t≤300)

當(dāng)0≤t≤200時，配方整理得
h=-

1

200

（t-50）²+100
所以，當(dāng)t=50時，h（t）取得區(qū)間[0，200]上的最大值100
當(dāng)200＜t≤300時，配方整理得
h=-

1

200

（t-350）²+100
所以，當(dāng)t=300時，h取得區(qū)間[200，300]上的最大值87.5
綜上，由100＞87.5可知，h在區(qū)間[0，300]上可以取得最大值100，此時t=50，即從二月一日開始的第50天時，上市的西紅柿純收益最大．

點評：本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，一次函數(shù)與分段函數(shù)，自變量取值范圍在本題中都得到了體現(xiàn)，難度較大，要根據(jù)題目給的范圍，找準(zhǔn)等量關(guān)系，分段求最大值．