Question

在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，點P在邊BC上運動，過點P作PE⊥AB于點E，點D為邊AC上一動點，連接PD、DE，以PD、DE為邊作平行四邊形PDEF，設BP=m
（1）用m的代數(shù)式表示PE的長；
（2）當m=5時，問：是否存在點D，使頂點F落在邊BC上？若存在，試求CD長；若不存在，請說明理由；
（3）若四邊形PDEF為菱形，且F落在邊BC上，試求m的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)勾股定理求出AB，證△BEP∽△BCA，得出比例式，代入求出即可．
（2）求出PE，根據(jù)勾股定理求出BE，求出AE，求出DE，即可得出答案．
（2）用m把BE、AE、AD表示出來，根據(jù)勾股定理求出DE和DP，根據(jù)DP=DE即可得出關于m的方程，求出即可．

解答：解：（1）∵在Rt△BCA中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，由勾股定理得：AB=10，
∵PE⊥AB，
∴∠PEB=∠C=90°，
∵∠B=∠B，
∴△BEP∽△BCA，
∴

PB

AB

=

PE

AC

，
∴

m

10

=

PE

6

，
∴PE=

3

5

m．

（2）存在點D，使頂點F落在邊BC上，
理由是：如果頂點F落在BC上，
則ED∥BC，
當BP=m=5時，PE=

3

5

m=3
∴BE=

52-32

=4，AE=AB-BE=10-4=6，
∵四邊形PDEF是平行四邊形，
∴DE∥BC，
∴Rt△AED∽Rt△ABC，
∴

DE

BC

=

AE

AB

，
∴DE=

AE×BC

AB

=

6×8

10

=

24

5

＜5，
∴存在，頂點F落在BC上
∵Rt△AED∽Rt△ABC，
∴

AD

AC

=

AE

AB

，
∴AD=

AE×AC

AB

=

6×6

10

=3.6，
∴CD=AC-AD=6-3.6=2.4．

（3）四邊形PDEF為菱形，且F落在BC上
則ED∥BC，且PD=ED
∵PE=

3

5

m，
∴BE=

4

5

m，AE=10-

4

5

m，
ED=

BC×AE

AB

=

8×(10- 4 5 m)

10

=8-

16

25

m，
AD=

AC×AE

AB

=

6×(10- 4 5 m)

10

=6-

12

25

m，
CD=6-（6-

12

25

m）=

12

25

m，
PC=8-m，
∵菱形PDEF，
∴PD=DE，
∴PD²=DE²，
∴（

12

25

m）²+（8-m）²=（8-

16

25

m）²，
解得：m=

400

57

，m=0（舍去），
即m=

400

57

．

點評：本題考查了勾股定理，相似三角形的性質(zhì)和判定，平行四邊形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)的應用，本題綜合性比較強，難度偏大．