Question

已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，BC=4，點(diǎn)M是AD的中點(diǎn)，△MBC是正三角形．動(dòng)點(diǎn)P、Q分別在線段BC和MC上運(yùn)動(dòng)，且∠MPQ=60°保持不變．
（1）求證：△BMP∽△CPQ；
（2）設(shè)PC=x，MQ=y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式；
（3）在（2）中，當(dāng)y取最小值時(shí)，判斷△PQC的形狀，并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和已知條件證明三角形相似即可；
（2）由△BMP∽△CQP，可得到BP與CQ的關(guān)系，從而轉(zhuǎn)化成y與x的函數(shù)關(guān)系式；
（3）先利用二次函數(shù)求最值，求出y取最小值時(shí)x的值和y的最小值，從而確定P、Q的位置，判斷出△PQC的形狀．
解答：證明：（1）在等邊△MBC中，MB=MC=BC=4，∠MBC=∠MCB=60°，
∠MPQ=60°，
∴∠BMP+∠BPM=∠BPM+∠QPC=120°．
∴∠BMP=∠QPC．
∴△BMP∽△CQP；
（2）解：∵△BMP∽△CQP，
∴，
∵PC=x，MQ=y，
∴BP=4-x，QC=4-y，
∴，
∴y=x²-x+4；
（3）△PQC為直角三角形，
理由是：
∵y=（x-2）²+3，
∴當(dāng)y取最小值時(shí)，x=PC=2．
∴P是BC的中點(diǎn)，MP⊥BC而∠MPQ=60°．
∴∠CPQ=30°．
∴∠PQC=90°．
∴△PQC為直角三角形．
點(diǎn)評(píng)：主要考查了二次函數(shù)的解析式的求法和與幾何圖形結(jié)合的綜合能力的培養(yǎng)．要會(huì)利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來．