Question

如圖，已知拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原點(diǎn)O，頂點(diǎn)為C

（1）求拋物線(xiàn)的函數(shù)解析式．

（2）設(shè)點(diǎn)D在拋物線(xiàn)上，點(diǎn)E在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上，且以AO為邊的四邊形AODE是平行四邊形，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．

（3）P是拋物線(xiàn)上第一象限內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥x軸，垂足為M，是否存在點(diǎn)P，使得以P，M，A為頂點(diǎn)的三角形與△BOC相似？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

 

Answer 1

【答案】

解：（1）設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為y=ax²+bx+c（a≠0），

將點(diǎn)A（﹣2，0），B（﹣3，3），O（0，0），代入可得：

，解得：。

∴函數(shù)解析式為：y=x²+2x。

（2）當(dāng)AO為平行四邊形的邊時(shí)，DE∥AO，DE=AO，由A（﹣2，0）知：DE=AO=2，

若D在對(duì)稱(chēng)軸直線(xiàn)x=﹣1左側(cè)，則D橫坐標(biāo)為﹣3，代入拋物線(xiàn)解析式得D₁（﹣3，3）；

若D在對(duì)稱(chēng)軸直線(xiàn)x=﹣1右側(cè)，則D橫坐標(biāo)為1，代入拋物線(xiàn)解析式得D₂（1，3）。

綜上所述，點(diǎn)D的坐標(biāo)為：（﹣3，3）或（1，3）。

（3）存在。

如圖：∵B（﹣3，3），C（﹣1，﹣1），

根據(jù)勾股定理得：BO²=18，CO²=2，BC²=20

∴BO²+CO²=BC²�！唷鰾OC是直角三角形。

假設(shè)存在點(diǎn)P，使以P，M，A為頂點(diǎn)的 三角形與△BOC相似，設(shè)P（x，y），由題意知x＞0，y＞0，且y=x²+2x，

①若△AMP∽△BOC，則，即。

∴x+2=3（x²+2x），解得：x₁=，x₂=﹣2（舍去）。

當(dāng)x=時(shí)，y=，即P（，）。

②若△PMA∽△BOC，則，即。

∴x²+2x=3（x+2），解得：x₁=3，x₂=﹣2（舍去）。

當(dāng)x=3時(shí)，y=15，即P（3，15）。

∴符合條件的點(diǎn)P有兩個(gè)，分別是P（，）或（3，15）。

【解析】

試題分析：（1）由于拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原點(diǎn)O，待定系數(shù)法即可求出拋物線(xiàn)的解析式。

（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，對(duì)邊平行且相等，可以求出點(diǎn)D的坐標(biāo)。

（3）分兩種情況討論，①△AMP∽△BOC，②PMA∽△BOC，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比相等可以求出點(diǎn)P的坐標(biāo)。