順次連接凸四邊形各邊中點(diǎn)所得到的四邊形是正方形時(shí),原四邊形對(duì)角線(xiàn)需滿(mǎn)足的條件是( )
A.對(duì)角線(xiàn)相等且垂直
B.對(duì)角線(xiàn)相等
C.對(duì)角線(xiàn)垂直
D.一條對(duì)角線(xiàn)平分另一條對(duì)角線(xiàn)
【答案】分析:由于四邊形EFGI是正方形,那么∠IGF=90°,IE=EF=FG=IG,而G、F是AD、CD中點(diǎn),易知GF是△ACD的中位線(xiàn),于是GF∥AC,GF=AC,同理可得IG∥BD,IG=BD,易求AC=BD,又由于GF∥AC,∠IGF=90°,利用平行線(xiàn)性質(zhì)可得∠IHO=90°,而IG∥BD,易證∠BOC=90°,即AC⊥BD,從而可證四邊形ABCD的對(duì)角線(xiàn)互相垂直且相等.
解答:解:如右圖所示,四邊形ABCD的各邊中點(diǎn)分別是I、E、F、G,且四邊形EFGI是正方形,
∵四邊形EFGI是正方形,
∴∠IGF=90°,IE=EF=FG=IG,
又∵G、F是AD、CD中點(diǎn),
∴GF是△ACD的中位線(xiàn),
∴GF∥AC,GF=AC,同理可得IG∥BD,IG=BD,
即AC=BD,
∵GF∥AC,∠IGF=90°,
∴∠IHO=90°,
又∵IG∥BD,
∴∠BOC=90°,
即AC⊥BD,
故四邊形ABCD的對(duì)角線(xiàn)互相垂直且相等.
故選:A.
點(diǎn)評(píng):本題考查了正方形的性質(zhì)、三角形中位線(xiàn)定理、平行線(xiàn)性質(zhì).解題的關(guān)鍵是連接AC、BD,構(gòu)造平行線(xiàn).
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B.兩條對(duì)角線(xiàn)等長(zhǎng)的四邊形
C.矩形
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