關于x的一元二次方程x2-6x+k=0的一個根是2.
(1)求k的值和方程的另一個根x2
(2)若直線AB經(jīng)過點A(2,0),B(0,x2),求直線AB的解析式;
(3)在平面直角坐標系中畫出直線AB的圖象,P是x軸上一動點,是否存在點P,使△ABP是直角三角形,若存在,求出點P坐標,若不存在,說明理由.

【答案】分析:(1)利用一元二次方程的解的定義,將x=2代入原方程,列出關于k的方程,通過解方程求得k值后,再根據(jù)根與系數(shù)的關系求得方程的另一個根;
(2)利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式;
(3)分類討論:①AB是斜邊,∠APB=90°;②AB是直角邊,點B為直角頂點,即∠ABP=90°;③設AB是直角邊,點A為直角頂點,即∠BAP=90°.
解答:解:(1)∵2是一元二次方程x2-6x+k=0的一個根,
∴2-12+k=0,
∴k=8.(2分)
∴一元二次方程為x2-6x+8=0,
∴(x-2)(x-4)=0,
∴x1=2,x2=4
∴一元二次方程為x2-6x+8=0的另一個根x2=4.(4分)

(2)設直線AB的解析式為y=kx+b(k≠0)
∵直線AB經(jīng)過點A(2,0),B(0,4)

解得k=-2,b=4(6分)
直線AB的解析式:y=-2x+4.(8分)

(3)畫圖正確(9分)
第一種:AB是斜邊,∠APB=90°
∵∠AOB=90°,
∴當點P與原點O重合時,∠APB=90°,
∴當點P的坐標為(0,0),△ABP是直角三角形.(11分)
第二種:設AB是直角邊,點B為直角頂點,即∠ABP=90°
∵線段AB在第一象限,
∴這時點P在x軸負半軸.
設P的坐標為(x,0)
∵A(2,0),B(0,4)
∴OA=2,OB=4,OP=-x,
∴BP2=OP2+OB2=x2+42,AB2=OA2+OB2=22+42,AP2=(OA+OP)2=(2-x)2
∵AP2=BP2+AB2
∴x2+42+22+42=(2-x)2,
解得x=-8
∴當點P的坐標為(-8,0),△ABP是直角三角形.(13分)
第三種:設AB是直角邊,點A為直角頂點,即∠BAP=90°
∵點A在x軸上,點P是x軸上的動點,
∴∠BAP>90°
∴∠BAP=90°的情況不存在.(14分)
∴當點P的坐標為(-8,0)或(0,0)時,△ABP是直角三角形.
點評:本題綜合考查了一元二次方程的解、待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式、根與系數(shù)的關系、勾股定理的逆定理等知識點.注意:第(2)題需要分類討論.
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