如圖,在梯形ABCD中,AD // BC,∠ABC = 90°,AB = 4,AD = 3,BC = 5,點(diǎn)M是邊CD的中點(diǎn),聯(lián)結(jié)AM、BM.
求:(1)△ABM的面積;
(2)∠MBC的正弦值.
(1)8(2)
【解析】(1)延長(zhǎng)AM交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N,
∵AD∥BC,
∴∠DAM=∠N,∠D=∠MCN,
∵點(diǎn)M是邊CD的中點(diǎn),
∴DM=CM,
∴△ADM≌△NCM(AAS),
∴CN=AD=3,AM=MN=AN,
∴BN=BC+CN=5+3=8,
∵∠ABC=90°,
∴S△ABN=×AB•BN=
×4×8=16,
∴S△ABM=S△ABN=8;
∴△ABM的面積為8;………………………………4分
(2)過(guò)點(diǎn)M作MK⊥BC,
∵∠ABC=90°,
∴MK∥AB,
∴△NMK∽△NAB,
∴,
∴MK=AB=2,
在Rt△ABN中,AN==
=4
,
∴BM=AN=2
,
在Rt△BKM中,sin∠MBC==
.
∴∠MBC的正弦值為.………………………………4分
(1)首先作輔助線:延長(zhǎng)AM交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N,然后利用梯形的性質(zhì),即可證得△ADM≌△NCM(AAS),根據(jù)全等三角形的性質(zhì),即可求得CN的長(zhǎng),即可求得Rt△ABN的面積,則可求得△ABM的面積;
(2)作輔助線:過(guò)點(diǎn)M作MK⊥BC,構(gòu)造Rt△BKM,即可求得∠MBC的正弦值.
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