如圖,在矩形ABCD中,AB=9,AD=,點P是邊BC上的動點(點P不與點B、點C重合),過點P作直線PQ∥BD,交CD邊于Q點,再把△PQC沿著動直線PQ對折,點C的對應點是R點,設CP的長度為x,△PQR與矩形ABCD重疊部分的面積為y.
(1)求∠CQP的度數(shù);
(2)當x取何值時,點R落在矩形ABCD的邊AB上?
(3)求y與x之間的函數(shù)關系式.

【答案】分析:(1)由于PQ與BD平行,∠CQP=∠CDB,因此只需求出∠CDB的度數(shù)即可.可在直角三角形ABD中,根據(jù)AB,AD的長求出∠ABD的度數(shù),由∠CQP=∠CDB=∠ABD即可得出∠CQP的度數(shù);
(2)當R在AB上時,三角形PBR為直角三角形,且∠BPR=60°(可由(1)的結論得出),根據(jù)折疊的性質PR=CP=x,然后用x表示出BP的長,在直角三角形可根據(jù)∠RPB的余弦值得出關于x的方程即可求出x的值;
(3)要分兩種情況進行討論:
①當R在AB或矩形ABCD的內部時,重合部分是三角形PQR,那么重合部分的面積可通過求三角形CQP的面積來得出,在直角三角形CQP中,已知了∠CQP的度數(shù),可用CP即x的值表示出CQ的長,然后根據(jù)三角形的面積計算公式可得出y,x的函數(shù)關系式;
②當R在矩形ABCD的外部時,重合部分是個四邊形的面積,如果設RQ,RP與AB的交點分別為E、F,那么重合部分就是四邊形EFPQ,它的面積=△CQR的面積-△REF的面積.△CQR的面積在一已經得出,關鍵是求△REF的面積,首先要求出的是兩條直角邊RE,RF的表達式,可在直角三角形PBF中用一的方法求PF的長,即可通過RP-PF得出RF的長;在直角三角形REF中,∠RFE=∠PFB=30°,可用其正切值表示出RE的長,然后可通過三角形的面積計算公式得出三角形REF的面積.進而得出S與x的函數(shù)關系式.
解答:解:(1)如圖,∵四邊形ABCD是矩形,
∴AB=CD,AD=BC.
又∵AB=9,AD=3,∠C=90°,
∴CD=9,BC=3
∴tan∠CDB==,
∴∠CDB=30°.
∵PQ∥BD,
∴∠CQP=∠CDB=30°;

(2)如備用圖1,由軸對稱的性質可知,△RPQ≌△CPQ,
∴∠RPQ=∠CPQ,RP=CP.
由(1)知∠CQP=30°,
∴∠RPQ=∠CPQ=60°,
∴∠RPB=60°,
∴RP=2BP.
∵CP=x,
∴PR=x,PB=3-x.
在△RPB中,根據(jù)題意得:2(3-x)=x,
解這個方程得:x=2;

(3)①當點R在矩形ABCD的內部或AB邊上時,
0<x≤2,S△CPQ=×CP×CQ=x•x=x2,
∵△RPQ≌△CPQ,
∴當0<x≤2時,y=x2
②當R在矩形ABCD的外部時(如備用圖2),2<x<3,
在Rt△PFB中,
∵∠RPB=60°,
∴PF=2BP=2(3-x),
又∵RP=CP=x,
∴RF=RP-PF=3x-6,
在Rt△ERF中,
∵∠EFR=∠PFB=30°,
∴ER=x-6.
∴S△ERF=ER×FR=x2-18x+18,
∵y=S△RPQ-S△ERF,
∴當2<x<3時,y=-x2+18x-18
綜上所述,y與x之間的函數(shù)解析式是:
y=
點評:此題主要考查了矩形的性質以及折疊的性質和二次函數(shù)的綜合應用,要注意的是(3)中要根據(jù)R點的不同位置進行分類討論,不要漏解.
練習冊系列答案
相關習題

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

精英家教網如圖,在矩形ABCD中,AB=4cm,BC=8cm,點P從點A出發(fā)以1cm/s的速度向點B運動,點Q從點B出發(fā)以2cm/s的速度向點C運動,設經過的時間為xs,△PBQ的面積為ycm2,則下列圖象能反映y與x之間的函數(shù)關系的是( �。�
A、精英家教網B、精英家教網C、精英家教網D、精英家教網

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,在矩形ABCD中,點O在對角線AC上,以OA的長為半徑的⊙O與AD、AC分別交于點E、F,且∠ACB=∠DCE精英家教網
(1)判斷直線CE與⊙O的位置關系,并說明理由;
(2)若AB=
2
,BC=2,求⊙O的半徑.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

如圖①,在矩形 ABCD中,AB=30cm,BC=60cm.點P從點A出發(fā),沿A→B→C→D路線向點D勻速運動,到達點D后停止;點Q從點D出發(fā),沿 D→C→B→A路線向點A勻速運動,到達點A后停止.若點P、Q同時出發(fā),在運動過程中,Q點停留了1s,圖②是P、Q兩點在折線AB-BC-CD上相距的路程S(cm)與時間t(s)之間的函數(shù)關系圖象.
(1)請解釋圖中點H的實際意義?
(2)求P、Q兩點的運動速度;
(3)將圖②補充完整;
(4)當時間t為何值時,△PCQ為等腰三角形?請直接寫出t的值.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,在矩形ABCD中,對角線AC,BD相交于點O,∠AOB=60°,AB=6,則AD=( �。�

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,E為線段BC上的動點(不與B、C重合).連接DE,作EF⊥DE,EF與AB交于點F,設CE=x,BF=y.
(1)求y與x的函數(shù)關系式;
(2)x為何值時,y的值最大,最大值是多少?
(3)若設線段AB的長為m,上述其它條件不變,m為何值時,函數(shù)y的最大值等于3?

查看答案和解析>>

同步練習冊答案