Question

如圖1，在直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A在y軸正半軸上，二次函數(shù)y=ax²+x+c的圖象F交x軸于B、C兩點(diǎn)，交y軸于M點(diǎn)，其中B（-3，0），M（0，-1）．已知AM=BC．
（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）證明：在拋物線F上存在點(diǎn)D，使A、B、C、D四點(diǎn)連接而成的四邊形恰好是平行四邊形，并請求出直線BD的解析式；
（3）在（2）的條件下，設(shè)直線l過D且分別交直線BA、BC于不同的P、Q兩點(diǎn)，AC、BD相交于N．
①若直線l⊥BD，如圖1，試求的值；
②若l為滿足條件的任意直線．如圖2．①中的結(jié)論還成立嗎？若成立，證明你的猜想；若不成立，請舉出反例．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)的解析式；
（2）首先求出D點(diǎn)的坐標(biāo)，可得AD=BC且AD∥BC，所以四邊形ABCD是平行四邊形；再根據(jù)B、D點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出直線BD的解析式；
（3）本問的關(guān)鍵是判定平行四邊形ABCD是菱形．
①推出AC∥直線l，從而根據(jù)平行線間的比例線段關(guān)系，求出BP、CQ的長度，計(jì)算出=；
②判定△PAD∽△DCQ，得到AP•CQ=25，利用這個(gè)關(guān)系式對進(jìn)行分式的化簡求值，結(jié)論為=不變．
解答：解：（1）∵二次函數(shù)y=ax²+x+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)B（-3，0），M（0，-1），
∴，
解得a=，c=-1．
∴二次函數(shù)的解析式為：y=x²+x-1．

（2）由二次函數(shù)的解析式為：y=x²+x-1，
令y=0，得x²+x-1=0，
解得x₁=-3，x₂=2，∴C（2，0），∴BC=5；
令x=0，得y=-1，∴M（0，-1），OM=1．
又AM=BC，∴OA=AM-OM=4，∴A（0，4）．
設(shè)AD∥x軸，交拋物線于點(diǎn)D，如圖1所示，
則y_D=x²+x-1=OA=4，
解得x₁=5，x₂=-6（位于第二象限，舍去）
∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（5，4）．
∴AD=BC=5，
又∵AD∥BC，
∴四邊形ABCD為平行四邊形．
即在拋物線F上存在點(diǎn)D，使A、B、C、D四點(diǎn)連接而成的四邊形恰好是平行四邊形．
設(shè)直線BD解析式為：y=kx+b，∵B（-3，0），D（5，4），
∴，
解得：k=，b=，
∴直線BD解析式為：y=x+．

（3）在Rt△AOB中，AB==5，又AD=BC=5，∴?ABCD是菱形．
①若直線l⊥BD，如圖1所示．
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴AC∥直線l，
∴，
∵BA=BC=5，
∴BP=BQ=10，
∴==；
②若l為滿足條件的任意直線，如圖2所示，此時(shí)①中的結(jié)論依然成立，理由如下：
∵AD∥BC，CD∥AB，
∴△PAD∽△DCQ，
∴，
∴AP•CQ=AD•CD=5×5=25．
∴
=
=
=
=
=
=．
點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)壓軸題，正確解答本題需要熟練掌握函數(shù)的圖象與性質(zhì)（二次函數(shù)與一次函數(shù)）、平面圖形的性質(zhì)與應(yīng)用（平行四邊形、菱形、相似三角形、平行線等）．本題涉及考點(diǎn)較多，雖有一點(diǎn)的難度，但相信不少考生均可順利解答．第（3）問中，需要注意平行四邊形ABCD是菱形，這樣后續(xù)的計(jì)算均可迎刃而解．