如圖,在正方形ABCD中,E是BC上的一點(diǎn),連結(jié)AE,作BF⊥AE,垂足為H,交CD于F,作CG∥AE,交BF于G.
求證:(1) CG=BH;(2)FC2=BF·GF;(3).
(1)、 (2)、 (3) 證明見(jiàn)解析
【解析】證明:(1)∵BF⊥AE,CG∥AE,CG⊥BF,∴CG⊥BF.
∵在正方形ABCD中,∠ABH+∠CBG=900, ∠CBG+∠BCG=900, ∠BAH+∠ABH=900,
∴∠BAH=∠CBG,∠ABH=∠BCG。
又∵AB=BC,∴△ABH≌△BCG(ASA)�!郈G=BH。
(2)∵∠BFC=∠CFG,∠BCF=∠CGF=900,∴△CFG∽△BFC。
∴,即FC2=BF·GF。
(3)∵∠CBG=∠FBC,∠CGB=∠FCB =900,∴△CBG∽△FBC。
∴,即BC2=BF·BG。
∵AB=BC,∴AB2=BF·BG。
∴,即
。
(1)由互余關(guān)系得出∠BAH=∠CBG,而∠AHB=∠BGC=90°,AB=BC,可證△ABH≌△BCG,得出結(jié)論。
(2)在Rt△BCF中,CG⊥BF,利用互余關(guān)系可證△CFG∽△BFC,利用相似比得出結(jié)論。
(3)根據(jù)Rt△BCF中,CG⊥BF,同理可證△CBG∽△FBC,利用相似比得出BC2=BF·BG,即AB2=BF·BG,結(jié)合(2)的結(jié)論求比即可。
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