Question

如圖在直角坐標(biāo)系XOY中，拋物線y=x²-2x+k與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，-3），頂點(diǎn)為M．
（1）求A、B兩點(diǎn)間的距離；
（2）求頂點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（3）求四邊形OBMC的面積；
（4）在x軸下方且在拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)D，求四邊形OBDC面積的最大值．

Answer 1

分析：（1）將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入到二次函數(shù)的解析式后然后求得點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)即可求得A、B之間的距離；
（2）利用配方法確定二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)即可；
（3）將四邊形的面積分成兩個(gè)直角三角形和一個(gè)梯形的面積即可求解；
（4）設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（x，x²-2x-3），根據(jù)四邊形的面積分解成直角三角形和梯形的面積得到有關(guān)x的二次函數(shù)即可求得最大面積．

解答：解：（1）∵拋物線y=x²-2x+k與y軸交于點(diǎn)C（0，-3），
∴-3=K
∴解析式為y=x²-2x-3，
令y=0，得：x²-2x-3=0，解得：x=-1或x=3，
∴A點(diǎn)的坐標(biāo)為：（-1，0），B點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，0），
∴A、B兩點(diǎn)之間的距離為4；

（2）∵y=x²-2x-3=x²-2x+1-4=（x-1）²-4，
∴頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，-4）；

（3）如圖，作MD⊥AB于點(diǎn)D，連接MC、MB，
則S四邊形OCMB=S_梯形OCMD+S_三角形DMB=

1

2

（OC+MD）•OD+

1

2

DB•MD=

1

2

×（3+4）×1+

1

2

×2×4=7.5；

（4）如圖，作DE⊥AB于點(diǎn)E，
∵點(diǎn)D在拋物線上，
∴設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（x，x²-2x-3），
∴S_{四邊形OBDC}=

1

2

（OC+DE）×OE+

1

2

EB•ED=

1

2

[3-（x²-2x-3）]•x+

1

2

（3-x）（-x²+2x+3）=-

3

2

（x-

3

2

）²+

63

8

；
∴有最大面積是

63

8

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的綜合知識(shí)，題目中在坐標(biāo)系中求四邊形的面積可以轉(zhuǎn)化為兩個(gè)直角三角形和一個(gè)直角梯形的面積去計(jì)算，本題難度中等．