Question

已知關(guān)于x的二次函數(shù)y＝ax²＋bx＋c(a＞0)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)C(0，1)，且與x軸交于不同的兩點(diǎn)A、B，點(diǎn)A的坐標(biāo)是(1，0)

(1)求c的值；

(2)求a的取值范圍；

(3)該二次函數(shù)的圖象與直線y＝1交于C、D兩點(diǎn)，設(shè)A、B、C、D四點(diǎn)構(gòu)成的四邊形的對(duì)角線相交于點(diǎn)P，記△PCD的面積為S₁，△PAB的面積為S₂，當(dāng)0＜a＜1時(shí)，求證：S₁－S₂為常數(shù)，并求出該常數(shù)．

Answer 1

答案：
解析：

答案：(1)c的值是1． 　　(2)a的取值范圍是a≠1且a＞0； 　　(3)這個(gè)常數(shù)是1． 　　分析：(1)把C(0，1)代入拋物線即可求出c； 　　(2)把A(1，0)代入得到0＝a＋b＋1，推出b＝－1－a，求出方程ax2＋bx＋1＝0，的b2－4ac的值即可； 　　(3)設(shè)A(a，0)，B(b，0)，由根與系數(shù)的關(guān)系得：a＋b＝，ab＝，求出AB＝，把y＝1代入拋物線得到方程ax2＋(－1－a)x＋1＝1，求出方程的解，進(jìn)一步求出CD過(guò)P作MN⊥CD于M，交X軸于N，根據(jù)△CPD∽△BPA，得出＝，求出PN、PM的長(zhǎng)，根據(jù)三角形的面積公式即可求出S1－S2的值即可． 　　解答：(1)解：把C(0，1)代入拋物線得：0＝0＋0＋c， 　　解得：c＝1， 　　(2)解：把A(1，0)代入得：0＝a＋b＋1， 　　∴b＝－1－a， 　　ax2＋bx＋1＝0， 　　b2－4ac＝(－1－a)2－4a＝a2－2a＋1＞0， 　　∴a≠1且a＞0， 　　(3)證明：∵0＜a＜1， 　　∴B在A的右邊， 　　設(shè)A(a，0)，B(b，0)， 　　∵ax2＋(－1－a)x＋1＝0， 　　由根與系數(shù)的關(guān)系得：a＋b＝，ab＝， 　　∴AB＝b－a＝＝， 　　把y＝1代入拋物線得：ax2＋(－1－a)x＋1＝1， 　　解得：x1＝0，x2＝， 　　∴CD＝， 　　過(guò)P作MN⊥CD于M，交X軸于N， 　　則MN⊥X軸， 　　∵CD∥AB， 　　∴△CPD∽△BPA， 　　∴＝， 　　∴＝， 　　∴PN＝，PM＝， 　　∴S1－S2＝··－··＝1， 　　即不論a為何只， 　　S1－S2的值都是常數(shù)． 　　點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)用待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式，解二元一次方程組，解一元一次方程，相似三角形的性質(zhì)和判定，根的判別式，根與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)與X軸的交點(diǎn)等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，綜合運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵，此題是一個(gè)綜合性比較強(qiáng)的題目，題型較好，難度適中．

提示：

二次函數(shù)綜合題；解一元一次方程；解二元一次方程組；根的判別式；根與系數(shù)的關(guān)系；待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；拋物線與x軸的交點(diǎn)；相似三角形的判定與性質(zhì)．