Question

如圖，李華晚上在路燈下散步．已知李華的身高AB=h，燈柱的高OP=O′P′=l，兩燈柱之間的距離OO′=m．
（1）若李華距燈柱OP的水平距離OA=a，求他影子AC的長；
（2）若李華在兩路燈之間行走，則他前后的兩個影子的長度之和（DA+AC）是否是定值請說明理由；
（3）若李華在點A朝著影子（如圖箭頭）的方向以v₁勻速行走，試求他影子的頂端在地面上移動的速度v₂．

Answer 1

分析：利用相似三角形對應邊成比例解題．

解答：解：（1）由題意可知：AB∥OP，
∴△ABC∽△OPC．
∴

AC

OC

=

AB

OP

，
∵OP=l，AB=h，OA=a，
∴

AC

a+AC

=

h

l

，
∴解得：AC=

ah

l-h

．

（2）∵AB∥OP，
∴△ABC∽△OPC，
∴

AB

OP

=

AC

OC

=

h

l

，
即

AC

OC-AC

=

h

l-h

，即

AC

OA

=

h

l-h

．
∴AC=

h

l-h

•OA．
同理可得：DA=

h

l-h

•O′A，
∴DA+AC=

h

l-h

(OA+O′A)=

hm

l-h

是定值．

（3）根據題意設李華由A到A'，身高為A'B'，A'C'代表其影長（如圖）．
由（1）可知

AC

OC

=

AB

OP

，即

h

l

=

AC

OC

，∴

OA

OC

=

OC-AC

OC

=

l-h

l

，
同理可得：

OA′

OC′

=

l-h

l

，
∴

OA

OC

=

OA′

OC′

，
由等比性質得：

AA′

CC′

=

OA′-OA

OC′-OC

=

l-h

l

，
當李華從A走到A'的時候，他的影子也從C移到C'，因此速度與路程成正比
∴

AA′

CC′

=

v1

v2

=

l-h

l

，
所以人影頂端在地面上移動的速度為v2=

lv1

l-h

．

點評：此題是把實際問題轉化成相似三角形的問題，然后利用相似三角形對應邊成比例解題．