如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線AC:與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)C,拋物線y=ax2+bx+c過點(diǎn)A、點(diǎn)C,且與x軸的另一交點(diǎn)為B(x,0),其中x>0,又點(diǎn)P是拋物線的對(duì)稱軸l上一動(dòng)點(diǎn).
(1)求點(diǎn)A的坐標(biāo),并在圖1中的l上找一點(diǎn)P,使P到點(diǎn)A與點(diǎn)C的距離之和最��;
(2)若△PAC周長(zhǎng)的最小值為,求拋物線的解析式及頂點(diǎn)N的坐標(biāo);
(3)如圖2,在線段CO上有一動(dòng)點(diǎn)M以每秒2個(gè)單位的速度從點(diǎn)C向點(diǎn)O移動(dòng)(M不與端點(diǎn)C、O重合),過點(diǎn)M作MH∥CB交x軸于點(diǎn)H,設(shè)M移動(dòng)的時(shí)間為t秒,試把△PHM的面積S表示成時(shí)間t的函數(shù),當(dāng)t為何值時(shí),S有最大值,并求出最大值;
(4)在(3)的條件下,當(dāng)時(shí),過M作x軸的平行線交拋物線于E、F兩點(diǎn),問:過E、F、C三點(diǎn)的圓與直線CN能否相切于點(diǎn)C?請(qǐng)證明你的結(jié)論.(備用圖圖3)

【答案】分析:(1)由題意A、B點(diǎn)關(guān)于拋物線對(duì)稱,則BC所在直線與對(duì)稱軸的交點(diǎn)即為P;
(2)由(1)所求可知該題周長(zhǎng)最小即為 AC+BC的長(zhǎng),從而求出x,而解得;
(3)由△OBC∽△CMN,得到高關(guān)于t的式子,因?yàn)镸H∥BC,得到三角形MHP三角形底邊關(guān)于t的表達(dá)式,根據(jù)t的取值范圍,從而求得S的最大值.
(4)把S的取值代入(3)中表達(dá)式中求得t,從而得到點(diǎn)M的坐標(biāo),從而證明各點(diǎn).
解答:解:(1)由題意直線AC與x軸的交點(diǎn)為A,
所以當(dāng)y=0,則x=-6,
所以點(diǎn)A(-6,0).
同理點(diǎn)C(0,8),
由題意,A、B是拋物線y=ax2+bx+8與x軸的交點(diǎn),
∴-6,x是一元二次方程ax2+bx+8=0的兩個(gè)根,
∴-6+x=-,-6x=,
∴a=-,b=-+
∵A、B點(diǎn)關(guān)于拋物線對(duì)稱,∴BC所在直線與對(duì)稱軸的交點(diǎn)即為P
設(shè)直線BC的解析式為y=mx+n,則n=8,mx+n=0,
∴m=-,n=8.
∴BC的解析式為y=-x+8.
∴當(dāng)x=-=時(shí),y=+4,
∴P的坐標(biāo)為(,+4);

(2)由(1)可知三角形PAC最小即為AC+BC=10,
+=10,
解得x=10或x=-10(不符舍去),
則點(diǎn)B(10,0),
由點(diǎn)A,B,C三點(diǎn)的二次函數(shù)式為y==-(x-2)2+
頂點(diǎn)N(2,);

(3)如圖,作MN⊥BC于點(diǎn)N,
則△OBC∽△NCM,
所以=,
即h=
因?yàn)镸H∥BC,
所以
解得MH==,
S=MH•h,
=×(8-2t)×,
=10t-,
因?yàn)槊棵胍苿?dòng)2個(gè)單位,
則當(dāng)t=2時(shí)符合范圍0<t<4,
所以當(dāng)t為2時(shí)S最大為10;

(4)把S的取值代入(3)中表達(dá)式中求得t,
從而得到點(diǎn)M的坐標(biāo),
,即=-t2+10t,
則解得t1=,t2=
則由題意知C、E、F三點(diǎn)所在圓半徑為4,
所以直線CN與C、F、E所在圓相切.
點(diǎn)評(píng):本題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用,知道三點(diǎn)求二次函數(shù)式,考查一次函數(shù)與二次函數(shù)的結(jié)合求三角形面積,知道面積求點(diǎn),很好結(jié)合,是道好題.
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精英家教網(wǎng)如圖,在平面直角坐標(biāo)中,四邊形OABC是等腰梯形,CB∥OA,OA=7,AB=4,∠COA=60°,點(diǎn)P為x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),但是點(diǎn)P不與點(diǎn)0、點(diǎn)A重合.連接CP,D點(diǎn)是線段AB上一點(diǎn),連接PD.
(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo);
(2)當(dāng)∠CPD=∠OAB,且
BD
AB
=
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,求這時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).

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(2012•渝北區(qū)一模)如圖,在平面直角坐標(biāo)xoy中,以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心,3為半徑畫圓,從此圓內(nèi)(包括邊界)的所有整數(shù)點(diǎn)(橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù))中任意選取一個(gè)點(diǎn),其橫、縱坐標(biāo)之和為0的概率是
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5
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如圖,在平面直角坐標(biāo)中,等腰梯形ABCD的下底在x軸上,且B點(diǎn)坐標(biāo)為(4,0),D點(diǎn)坐標(biāo)為(0,3),則AC長(zhǎng)為
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如圖,在平面直角坐標(biāo)xOy中,已知點(diǎn)A(-5,0),P是反比例函數(shù)y=
k
x
圖象上一點(diǎn),PA=OA,S△PAO=10,則反比例函數(shù)y=
k
x
的解析式為( �。�

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如圖,在平面直角坐標(biāo)中,四邊形OABC是等腰梯形,CB∥OA,OC=AB=4,BC=6,∠COA=45°,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā),在梯形OABC的邊上運(yùn)動(dòng),路徑為O→A→B→C,到達(dá)點(diǎn)C時(shí)停止.作直線CP.
(1)求梯形OABC的面積;
(2)當(dāng)直線CP把梯形OABC的面積分成相等的兩部分時(shí),求直線CP的解析式;
(3)當(dāng)△OCP是等腰三角形時(shí),請(qǐng)寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)(不要求過程,只需寫出結(jié)果).

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