Question

已知：如圖，拋物線y=-x²+bx+c與x軸的負半軸相交于點A，與y軸相交于點B（0，3），且∠OAB的余切值為．
（1）求該拋物線的表達式，并寫出頂點D的坐標；
（2）設該拋物線的對稱軸為直線l，點B關于直線l的對稱點為C，BC與直線l相交于點E．點P在直線l上，如果點D是△PBC的重心，求點P的坐標；
（3）在（2）的條件下，將（1）所求得的拋物線沿y軸向上或向下平移后頂點為點P，寫出平移后拋物線的表達式．點M在平移后的拋物線上，且△MPD的面積等于△BPD的面積的2倍，求點M的坐標．

Answer 1

解：（1）由點B（0，3），可知 OB=3．
∵在Rt△OAB中，tan∠OAB==，
∴OA=1，
∴點A（-1，0）
∵由拋物線y=-x²+bx+c經過點A、B，代入得：
，
∴b=2，c=3，
∴所求拋物線的表達式為y=-x²+2x+3，
∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴頂點D的坐標為（1，4）；

（2）該拋物線的對稱軸是直線l為x=1，
∵由題意知：點B關于直線l的對稱點為C，
∴點C的坐標為（2，3），且點E（1，3）為BC的中點，
∴DE=1，
∵點D是△PBC的重心，
∴PD=2DE=2，
即得：PE=3，
∵由點P在直線l上，
∴點P的坐標為（1，6）；

（3）∵P（1，6），D（1，4），
∴PD=2，可知將拋物線y=-x²+2x+3向上平移2個單位，
∴平移后的拋物線的表達式為y=-x²+2x+5，
設點M的坐標為（m，n）．
△MPD和△BPD邊PD上高分別為|m-1|、1，
于是，由△MPD的面積等于△BPD的面積的2倍，
得|m-1|=2．
解得：m₁=-1，m₂=3．
∵點M在拋物線y=-x²+2x+5上，
∴n₁=2，n₂=2，
∴點M的坐標分別為M₁（-1，2）、M₂（3，2）．
分析：（1）求出OB，根據已知得出tan∠OAB==，求出OA，即可求出A的坐標，代入拋物線即可求出拋物線的表達式，化成頂點式即可求出D的坐標；
（2）求出C的坐標，求出E的坐標，得出DE，求出PD、PE，即可得出P的坐標；
（3）根據P、D的坐標得出拋物線向上平移兩個單位即可得出新拋物線，設點M的坐標為（m，n）．求出△MPD和△BPD邊PD上高分別為|m-1|、1，根據面積得出|m-1|=2，求出m，代入拋物線求出n即可．
點評：本題考查了平移性質，用待定系數法求二次函數的解析式，三角形的面積，軸對稱的性質等知識點的應用，本題綜合性比較強，有一定的難度，主要培養(yǎng)了學生綜合運用性質進行推理和計算的能力．