Question

如圖，已知拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象經(jīng)過原點(diǎn)O，交x軸于點(diǎn)A，其頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，）．
（1）直接寫出拋物線的解析式及點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）設(shè)拋物線上的點(diǎn)Q，使△QAO與△AOB相似（不全等），求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，已知點(diǎn)M（0，），連結(jié)QM并延長交拋物線另一點(diǎn)R，在直線QR下方的拋物線上找點(diǎn)P，當(dāng)△PQR面積最大時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)及S_△PQR的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)函數(shù)經(jīng)過原點(diǎn)，可得c=0，然后根據(jù)函數(shù)的對稱軸，及函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)（3，- ）可得出函數(shù)解析式，根據(jù)二次函數(shù)的對稱性可直接得出點(diǎn)A的坐標(biāo)．
（2）點(diǎn)Q不與點(diǎn)B重合．先求出∠BOA的度數(shù)，然后可確定∠Q₁OA=的度數(shù)，繼而利用解直角三角形的知識求出x，得出Q₁的坐標(biāo)，利用二次函數(shù)圖象函數(shù)的對稱性可得出Q₂的坐標(biāo)．
（3）將M（0，）、Q₁（9，3）代入y=kx+b，得直線QR的解析式為，求與拋物線的交點(diǎn)R：P點(diǎn)在直線QR下方且在拋物線上，故設(shè)P（x，），
如圖，過P作直線平行于y軸，交QR于點(diǎn)K，則K（x，），則S_△PQR=S_△QPK+S_△RPK=PK（9-x+x+1）=-，所以根據(jù)求二次函數(shù)最值的方法知當(dāng)x=4時，S_△PQR最大=，則易求點(diǎn)P的坐標(biāo)．同理求得P₂（0，0），S_△PQR最大=3．
解答：解：（1）由函數(shù)圖象經(jīng)過原點(diǎn)得，函數(shù)解析式為y=ax²+bx（a≠0），
又∵函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為B（3，），
∴，
解得，
∴該函數(shù)解析式為：，
∴由二次函數(shù)圖象的對稱性可知，點(diǎn)A與原點(diǎn)關(guān)于x=3對稱，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（6，0）；
綜上所述，拋物線的解析式為，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（6，0）；

（2）過B作BC⊥x軸于點(diǎn)C，Rt△OCB中，tan∠OBC=，
∴∠OBC=60°，
∴∠OBA=120°，△AOB是頂角為120°的等腰三角形，當(dāng)點(diǎn)Q在x軸下方時，必與點(diǎn)B重合（舍去全等情況），
∴當(dāng)Q在x軸上方時，過Q作QD⊥x軸，
∵△QAO∽△AOB，
∴必有OA=AQ=6，且∠OAQ=120°，
∴∠QAD=60°，
∴AD=3，QD=3，
∴Q（9，3）．
∵Q（9，3）滿足，
∴Q在拋物線上，
根據(jù)對稱性Q₂（也滿足條件，
∴符合條件的Q點(diǎn)有兩個：Q₁（9，3）、Q₂（；

（3）設(shè)直線QR的解析式為y=kx+b（k≠0）．
將M（0，）、Q₁（9，3）代入y=kx+b，得直線QR的解析式為，
令=
解得x₁=-1，x₂=9（即Q點(diǎn)舍去），
∴R（-1，），
∵P點(diǎn)在直線QR下方且在拋物線上，故設(shè)P（x，）．
如圖，過P作直線平行于y軸，交QR于點(diǎn)K，則K（x，）
則S_△PQR=S_△QPK+S_△RPK=PK（9-x+x+1）=[-（）]×10
=-
當(dāng)x=4時，S_△PQR最大=，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，）．
同理過Q₂（、M的直線交拋物線R₂，在Q₂R₂下方拋物線取點(diǎn)P₂，
解得P₂（0，0），S_△PQR最大=3．
點(diǎn)評：此題屬于二次函數(shù)的綜合題目，涉及了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形的面積及一元二次方程的解，綜合性較強(qiáng)，需要我們仔細(xì)分析，分步解答．