Question

在平面直角坐標系xOy中，已知直線y=-x+交x軸于點C，交y軸于點A．等腰直角三角板OBD的頂點D與點C重合，如圖A所示．把三角板繞著點O順時針旋轉，旋轉角度為α（0°＜α＜180°），使B點恰好落在AC上的B'處，如圖B所示．
（1）求圖A中的點B的坐標；
（2）求α的值；
（3）若二次函數y=mx²+3x的圖象經過（1）中的點B，判斷點B′是否在這條拋物線上，并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據直線y=-x+交x軸于點C，交y軸于點A，得出DO的長，進而得出B點坐標；
（2）根據已知得出在Rt△B′EO中，OB′=，OE=1，得出∠EOD=90°，進而得出∠COD=30°；
（3）首先得出點B'的坐標為（，），進而求出m的值，將B′點代入解析式，即可得出B′是否在這條拋物線上．
解答：解：（1）∵直線y=-x+交x軸于點C，交y軸于點A，
∴點A的坐標為（0，），點C的坐標為（2，0）．
∵等腰直角三角板OBD的頂點D與點C重合，
∴OD=2，∠BOD=45°．
過點B作BM⊥OC于M．
∴OM=．
∴BM=1，OB=．
∴點B的坐標為（1，1）

（2）∵OA=，OC=2，∠AOC=90°，
∴∠ACO=30°．
過點O作OE⊥AC于E．
∴OE=1．
∵在Rt△B′EO中，OB′=，OE=1，
∴∠B′OE=45°．
∴∠EOD=90°．
又∵∠EOC=60°，
∴∠COD=30°．
∴α=30°．

（3）判斷：點B'在這條拋物線上．
理由：∵點B'在直線AC上，
∴點B'的坐標為（a，-a+）．
∵a²+（-a+）²=OB'²，
∴a²+（-a+）²=（）²．
解方程，得a₁=，a₂=（不合題意，舍去）．
∴點B'的坐標為（，）．
又∵二次函數y=mx²+3x過B（1，1），
∴m=-2．
∴二次函數的解析式為y=-2x²+3x．把x=代入y=-2x²+3x，得y=
∴點B'在這條拋物線上．
（注：對于每題的不同解法，請老師們根據評分標準酌情給分．）
點評：此題主要考查了二次函數的綜合應用以及等腰直角三角形的性質等知識，根據已知得出B′點坐標是解題關鍵．