Question

如圖，AB是O的直徑，AE交O于點(diǎn)E，且與O的切線CD互相垂直，垂足為D。

（1）求證：∠EAC＝∠CAB；

（2）若CD＝4，AD＝8：

①求O的半徑；

②求tan∠BAE的值。

第25題圖

Answer 1

（1）證明：連接OC。                                                         1分

∵CD是⊙O的切線

∴CD⊥OC

又∵CD⊥AE

∴OC∥AE

∴∠1＝∠3                                                              2分

∵OC＝OA

∴∠2＝∠3

∴∠1＝∠2

即∠EAC＝∠CAB                                                      3分

（2）解：①連接BC。

∵AB是⊙O的直徑，CD⊥AE于點(diǎn)D

∴∠ACB＝∠ADC＝90°

∵∠1＝∠2

∴△ACD∽△ABC

∴                                                            5分

∵AC²＝AD²＋CD²＝4²＋8²＝80

∴AB＝＝10

∴⊙O的半徑為10÷2＝5。                                                6分

②連接CF與BF。

∵四邊形ABCF是⊙O的內(nèi)接四邊形

∴∠ABC＋∠AFC＝180°

∵∠DFC＋∠AFC＝180°

∴∠DFC＝∠ABC

∵∠2＋∠ABC＝90°， ∠DFC＋∠DCF＝90°

∴∠2＝∠DCF

∵∠1＝∠2

∴∠1＝∠DCF

∵∠CDF＝∠CDF

∴△DCF∽△DAC

∴                                                            8分

∴DF＝＝2

∴AF＝AD－DF＝8－2＝6

∵AB是⊙O的直徑

∴∠BFA＝90°

∴BF＝＝8

∴tan∠BAD＝。                                              10分