Question

有一個三位數等于它的各位數字和的42倍，這個三位數是？

Answer 1

分析：設這個三位數的百位，十位，個位上的數字分別為A、B、C，先根據這個三位數等于它的各位數字和的42倍，列出方程100A+10B+C=42（A+B+C），由42是3的倍數，可知這個三位數（100A+10B+C）是3的倍數，根據能被3整除的數：各個數位上的數字和能被3整除，得出（A+B+C）是3的倍數，則方程右邊是9的倍數，所以這個三位數（100A+10B+C）是9的倍數，再根據能被9整除的數：各個數位上的數字和能被9整除，得出（A+B+C）是9的倍數，則方程右邊是27的倍數，所以這個三位數（100A+10B+C）是27的倍數，又100A+10B+C=3×2×7（A+B+C），則這個三位數（100A+10B+C）是27×7×2=378的倍數，而三位數中是378的倍數的數只有2個，經過檢驗，即可得出結果．

解答：解：設這個三位數的百位，十位，個位上的數字分別為A、B、C，由題意得：
100A+10B+C=42（A+B+C）．
∵42是3的倍數，即100A+10B+C=3×2×7（A+B+C），
∴這個三位數（100A+10B+C）是3的倍數，
∴（A+B+C）是3的倍數，
∴這個三位數（100A+10B+C）是9的倍數，
∴（A+B+C）是9的倍數．
∴這個三位數（100A+10B+C）是27的倍數．
則這個三位數（100A+10B+C）是27×7×2=378的倍數，
而三位數中是378的倍數的數只有2個，即為378，756．
∵42×（3+7+8）=756≠378，
∴這個三位數不是378；
∵42×（7+5+6）=756，
∴這個三位數是756．
答：這個三位數是756．

點評：本題考查了數的整除性問題，屬于競賽題型，有一定難度．根據題意列出方程，然后根據能被3、9整除的數的特征得出這個三位數是27的倍數，是解答本題的關鍵．