【答案】
分析:(1)由于A(-1,0)、B(3,0)、C(0,3)三點(diǎn)均在坐標(biāo)軸上,故設(shè)一般式解答和設(shè)交點(diǎn)式(兩點(diǎn)式)解答均可.
(2)分以CD為底和以CD為腰兩種情況討論.運(yùn)用兩點(diǎn)間距離公式建立起P點(diǎn)橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)之間的關(guān)系,再結(jié)合拋物線解析式即可求解.
(3)根據(jù)拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn),利用勾股定理求出相關(guān)邊長,再利用勾股定理的逆定理判斷出直角梯形中的直角,便可解答.
解答:![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131021230607281050294/SYS201310212306072810502022_DA/images0.png)
解:(1)∵拋物線與y軸交于點(diǎn)C(0,3),
∴設(shè)拋物線解析式為y=ax
2+bx+3(a≠0),
根據(jù)題意,得
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,
解得
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131021230607281050294/SYS201310212306072810502022_DA/1.png)
,
∴拋物線的解析式為y=-x
2+2x+3.
(2)存在.
由y=-x
2+2x+3得,D點(diǎn)坐標(biāo)為(1,4),對稱軸為x=1.
①若以CD為底邊,則PD=PC,
設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y),根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式,
得x
2+(3-y)
2=(x-1)
2+(4-y)
2,
即y=4-x.
又P點(diǎn)(x,y)在拋物線上,
∴4-x=-x
2+2x+3,
即x
2-3x+1=0,
解得x
1=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131021230607281050294/SYS201310212306072810502022_DA/2.png)
,x
2=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131021230607281050294/SYS201310212306072810502022_DA/3.png)
<1,應(yīng)舍去,
∴x=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131021230607281050294/SYS201310212306072810502022_DA/4.png)
,
∴y=4-x=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131021230607281050294/SYS201310212306072810502022_DA/5.png)
,
即點(diǎn)P坐標(biāo)為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131021230607281050294/SYS201310212306072810502022_DA/6.png)
.
②若以CD為一腰,
∵點(diǎn)P在對稱軸右側(cè)的拋物線上,由拋物線對稱性知,點(diǎn)P與點(diǎn)C關(guān)于直線x=1對稱,
此時點(diǎn)P坐標(biāo)為(2,3).
∴符合條件的點(diǎn)P坐標(biāo)為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131021230607281050294/SYS201310212306072810502022_DA/7.png)
或(2,3).
(3)由B(3,0),C(0,3),D(1,4),根據(jù)勾股定理,
得CB=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131021230607281050294/SYS201310212306072810502022_DA/8.png)
,CD=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131021230607281050294/SYS201310212306072810502022_DA/9.png)
,BD=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131021230607281050294/SYS201310212306072810502022_DA/10.png)
,
∴CB
2+CD
2=BD
2=20,
∴∠BCD=90°,
設(shè)對稱軸交x軸于點(diǎn)E,過C作CM⊥DE,交拋物線于點(diǎn)M,垂足為F,在Rt△DCF中,
∵CF=DF=1,
∴∠CDF=45°,
由拋物線對稱性可知,∠CDM=2×45°=90°,點(diǎn)坐標(biāo)M為(2,3),
∴DM∥BC,
∴四邊形BCDM為直角梯形,
由∠BCD=90°及題意可知,
以BC為一底時,頂點(diǎn)M在拋物線上的直角梯形只有上述一種情況;
以CD為一底或以BD為一底,且頂點(diǎn)M在拋物線上的直角梯形均不存在.
綜上所述,符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,3).
點(diǎn)評:此題是一道典型的“存在性問題”,結(jié)合二次函數(shù)圖象和等腰三角形、等腰梯形的性質(zhì),考查了它們存在的條件,有一定的開放性.