Question

如圖，以矩形OABC的頂點(diǎn)O為原點(diǎn)，OA所在的直線為x軸，OC所在的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系．已知OA＝3，OC＝2，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，在OA上取一點(diǎn)D，將△BDA沿BD翻折，使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)F處．

(1)直接寫出點(diǎn)E、F的坐標(biāo)；

(2)設(shè)頂點(diǎn)為F的拋物線交y軸正半軸于點(diǎn)P，且以點(diǎn)E、F、P為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，求該拋物線的解析式；

(3)在x軸、y軸上是否分別存在點(diǎn)M、N，使得四邊形MNFE的周長(zhǎng)最��？如果存在，求出周長(zhǎng)的最小值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)E(3，1)；F(1，2)； 　　(2)在Rt△EBF中，∠B＝900，所以EF＝．設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0，n)，其中n＞0，因?yàn)轫旤c(diǎn)F(1，2)，所以設(shè)拋物線的解析式為y＝a(x－1)2＋2(a≠0)． 　�、偃鐖D1，當(dāng)EF＝PF時(shí)，EF2＝PF2，所以12＋(n－2)2＝5，解得n1＝0(舍去)，n2＝4，所以P(0，4)，所以4＝a(0－1)2＋2，解得a＝2，所以拋物線的解析式為y＝2(x－1)2＋2． 　�、谌鐖D2，當(dāng)EP＝FP時(shí)，EP2＝FP2，所以(2－n)2＋1＝(1－n)2＋9，解得n＝－(舍去)． 　�、郛�(dāng)EF＝EP時(shí)，EP＝＜3，這種情況不存在． 　　綜上所述，符合條件的拋物線為y＝2(x－1)2＋2． 　　(3)存在點(diǎn)M、N，使得四邊形MNFE的周長(zhǎng)最�。� 　　如圖3，作點(diǎn)E關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，作點(diǎn)F關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接，分別與x軸、y軸交于點(diǎn)M、N，則點(diǎn)M、N就是所求．所以(3，－1)、(－1，2)，NF＝N，ME＝M，所以B＝4，B＝3，所以FN＋NM＋ME＝N＋NM＋M＝＝＝5．又因?yàn)镋F＝，所以FN＋MN＋ME＋EF＝5＋，此時(shí)四邊形MNFE的周長(zhǎng)最小值為5＋．