Question

如圖，直角梯形ABCD的頂點A、B、C的坐標分別為（，0）、（2，0）和（2，3），AB∥CD，∠C=90°，CD=CB．
（1）求點D的坐標；
（2）拋物線y=ax²+bx+c過原點O與點（7，1），且對稱軸為過點（4，3）與y軸平行的直線，求拋物線的函數(shù)關系式；
（3）在（2）中的拋物線上是否存在一點P，使得PA+PB+PC+PD最��？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵AB∥CD，C（2，3），
∴點D的縱坐標是3，
∵CD=CB，B（2，0），
∴點D到y(tǒng)軸的距離為3-2=1，
又∵點D在第二象限，
∴點D的坐標為D（-1，3）；

（2）設拋物線解析式為y=ax²+bx+c，
由題意得：，
解得，
所以，拋物線解析式為y=-x²+x；

（3）存在一點P（1，1），使得PA+PB+PC+PD．
理由如下：顯然AC、BD的交點Q滿足QA+QB+QC+QD最小，
設直線AC解析式為y=mx+n，
∵A（，0），C（2，3），
∴，
解得，
∴直線AC的解析式為y=2x-1，
設直線BD的解析式為y=ex+f，
∵B（2，0），D（-1，3），
∴，
解得，
∴直線BD的解析式為y=-x+2，
聯(lián)立，
解得，
∴Q（1，1），
當x=1時，y=-x²+x=1，
∴點Q在此拋物線上，
∴存在點P（1，1）使得PA+PB+PC+PD最�。�
分析：（1）根據(jù)AB∥CD可得點D的縱坐標與點C的縱坐標相同，再求出點D到y(tǒng)軸的距離，然后根據(jù)點D在第二象限寫出坐標即可；
（2）把原點O的坐標與點（7，1）代入拋物線解析式，再根據(jù)對稱軸-=4，解關于a、b、c的三元一次方程組即可得解；
（3）根據(jù)梯形的性質，AC、BD的交點滿足PA+PB+PC+PD最小，然后利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式求出直線AC、BD的解析式，再聯(lián)立求解得到交點坐標，如果交點坐標在拋物線圖象上，則存在，否則不存在．
點評：本題綜合考查了二次函數(shù)的問題，主要利用了直角梯形的性質，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，兩直線的交點的求解，綜合題，但是難度不大，只要仔細分析便不難求解．