Question

在正方形ABCD的邊AB上任取一點(diǎn)E，作EF⊥AB交BD于點(diǎn)F，取FD的中點(diǎn)G，連結(jié)EG、CG，如圖，易證EG＝CG且EG⊥CG．

(1)將△BEF繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，如圖，則線段EG和CG有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？請(qǐng)直接寫(xiě)出你的猜想．

(2)將△BEF繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°，如圖，則線段EG和CG又有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出你的猜想，并加以證明．

Answer 1

答案：
解析：

解(1)EG＝CG　EG⊥CG(2分) 　　(2)EG＝CG　EG⊥CG(2分) 　　證明：延長(zhǎng)FE交DC延長(zhǎng)線于M，連MG 　　∵∠AEM＝90°，∠EBC＝90°，∠BCM＝90° 　　∴四邊形BEMC是矩形． 　　∴BE＝CM，∠EMC＝90° 　　又∵BE＝EF 　　∴EF＝CM 　　∵∠EMC＝90°，F(xiàn)G＝DG 　　∴MG＝FD＝FG 　　∵BC＝EM，BC＝CD 　　∴EM＝CD 　　∵EF＝CM 　　∴FM＝DM 　　∴∠F＝45° 　　又FG＝DG 　　∵∠CMG＝∠EMC＝45° 　　∴∠F＝∠GMC 　　∴△GFE≌△GMC 　　∴EG＝CG，∠FGE＝∠MGC(2分) 　　∵∠FMC＝90°，MF＝MD，F(xiàn)G＝DG 　　∴MG⊥FD 　　∴∠FGE＋∠EGM＝90° 　　∴∠MGC＋∠EGM＝90° 　　即∠EGC＝90° 　　∴EG⊥CG(2分)