【題目】已知:菱形 ABCD,點 E 在線段 BC 上,連接 DE,點 F 在線段 AB 上,連接 CF、DF, CF DE 交于點 G,將菱形 ABCD 沿 DF 翻折,點 A 恰好落在點 G 上.

1)求證:CD=CF

2)設(shè)CED= x,DCF= y,求 y x 的函數(shù)關(guān)系式;(不要求寫出自變量的取值范圍)

3)在(2)的條件下,當 x=45°時,以 CD 為底邊作等腰CDK,頂角頂點 K 在菱形 ABCD的內(nèi)部,連接 GK,若 GKCDCD=4 時,求線段 KG 的長.

【答案】1)見解析;(2y=;(2

【解析】

1)根據(jù)翻折的性質(zhì)得△DFG≌△DFA,從而推導(dǎo)得出∠FDC=DFG,進而得到CF=DC

2)在等腰△DGC和等腰△CFD中,可用y表示出∠GDC、∠FDC的值,從而求出∠ADF,根據(jù)∠ADE=DEC,得出yx的關(guān)系式;

3)先證△KCD是等腰直角三角形,根據(jù)CD的長得到KC的值,然后再△KGC中求得KG的值.

1)∵將菱形ABCD沿DF翻折,點A恰好落在點G

∴△DFG≌△DFA,∠AFD=FDC

∴∠AFD=DFG

∴∠FDC=DFG

CF=DC;

2)∵AD=DG=DC=FC,∠DCF=y

∴在△DGC中,∠DGC=y,∠GDC=1802y

在△CFD中,∠CFD=CDF=

∴∠FDG=FDC-∠GDC=

∴∠ADF=FDG=,∴∠ADE=3y180

ADBC

∴∠ADE=DEC,即3y180=x

化簡得:y=

3)如下圖,過點KCD的垂線,交CD于點I,延長KGBC于點L,過點CGL的垂線,交GL于點Q,過點CGD的垂線,交GD于點N,

x=45°,

y=75°,∠ADE=x=45°

∴∠DGC=DCG=75°,

∴∠NDC=30°,

∴∠ADC=45°+30°=75°,

∵四邊形ABCD是菱形,

∴∠B=75°,

KGDC

KGAB,∠KGD=NDC=30°

∴∠GLC=B=75°,∠KGC=30°+75°=105°,

∴∠LGC=75°

∴∠CGL=CGN

GC是∠LGN的角平分線,

CQ=CN,

CD=4,∠CDE=30°,

∴在RtCND中,CN=2,

CQ=2

KGCD,

∴∠QKI=KIC=90°

CQKL

∴四邊形CQKI是矩形,

CK=KD,KICD

CI=ID=2,

CI=CQ=2,

∴矩形CQKI是正方形

IK=CQ=2

∴在RtKIC中,CK=,

如下圖,過點GCK的垂線,交CK于點M,

∴△KGM是等腰直角三角形,△GMC是直角三角形,且∠C=30°,

設(shè)GM=x,

則在RtGKM中,KM=GM=x

RtGMC中,CG=2xMC=x,

KC=x+x=,

解得:x=

KG=.

練習冊系列答案
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(2)若將圖(1)中的CE向上平移,∠CAE不變,連接DE,MDE的中點,連接MB、MC(圖(3)),判斷MB、MC的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.

(3)在(2)中,若∠CAE的大小改變(圖(4)),其他條件不變,則(2)中的MB、MC的數(shù)量關(guān)系還成立嗎?說明理由.

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如:

因此,4,12,20這三個數(shù)都是神秘數(shù).

(1)282012這兩個數(shù)是不是神秘數(shù)?為什么?

(2)設(shè)兩個連續(xù)偶數(shù)為(其中為非負整數(shù)),由這兩個連續(xù)偶數(shù)構(gòu)造的神秘數(shù)是4的倍數(shù),請說明理由.

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證明:∵BE=FC

∴BE+EF=FC+EF____________________________

即:___________

∵AB∥CD

∴∠B=∠C_________________________

在△ABF和△DCE中,

∠A=∠D, ∠B=∠C, BF=CE

∴△ABF≌△DCE________

∴∠AFB=∠DEC_________________________________

∴AF∥ED__________________________________

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3在第2題圖5,連結(jié)BDAE,a=4,b=3,k=,BD2+AE2的值

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