Question

如圖，已知E是?ABCD中BC邊的中點(diǎn)，連接AE并延長(zhǎng)AE交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．

(1)求證：△ABE≌△FCE．

(2)連接AC、BF，若∠AEC＝2∠ABC，求證：四邊形ABFC為矩形．

Answer 1

答案：
解析：

分析：(1)由ABCD為平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊平行得到AB與DC平行，根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等得到一對(duì)角相等，由E為BC的中點(diǎn)，得到兩條線段相等，再由對(duì)應(yīng)角相等，利用ASA可得出三角形ABE與三角形FCE全等； 　　(2)由△ABE與△FCE全等，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得到AB＝CF；再由AB與CF平行，根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形為平行四邊形得到ABFC為平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的對(duì)角線互相平分得到AE＝EF，BE＝EC；再由∠AEC為三角形ABE的外角，利用外角的性質(zhì)得到∠AEB等于∠ABE＋∠EAB，再由∠AEC＝2∠ABC，得到∠ABE＝∠EAB，利用等角對(duì)等邊可得出AE＝BE，可得出AF＝BC，利用對(duì)角線相等的平行四邊形為矩形可得出ABFC為矩形． 　　解答：證明：(1)∵四邊形ABCD為平行四邊形， 　　∴AB∥DC， 　　∴∠ABE＝∠ECF， 　　又∵E為BC的中點(diǎn)， 　　∴BE＝CE， 　　在△ABE和△FCE中， 　　∵， 　　∴△ABE≌△FCE(ASA)； 　　(2)∵△ABE≌△FCE， 　　∴AB＝CF，又AB∥CF， 　　∴四邊形ABFC為平行四邊形， 　　∴BE＝EC，AE＝EF， 　　又∵∠AEC＝2∠ABC，且∠AEC為△ABE的外角， 　　∴∠AEC＝∠ABC＋∠EAB， 　　∴∠ABC＝∠EAB， 　　∴AE＝BE， 　　∴AE＋EF＝BE＋EC，即AF＝BC， 　　則四邊形ABFC為矩形． 　　點(diǎn)評(píng)：此題考查了矩形的判定，平行四邊形的性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，以及全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．

提示：

考點(diǎn)：矩形的判定；全等三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)．