Question

如圖，等腰Rt△ABC的直角邊AB、AC分別與圓O相切于點E、D，AD=，DC=5，直線FG與AC、BC分別交于點F、G，且∠CFG=60°．
（1）求陰影部分的面積；
（2）設點C到直線FG的距離為d，當1≤d≤4時，試判斷直線FG與圓O的位置關系，并說明理由．

Answer 1

解：（1）連接OD，OE，
∵等腰Rt△ABC的直角邊AB、AC分別與圓O相切于點E、D，
∴∠A=∠ADO=∠AEO=90°，
∴四邊形AEOD是矩形，
∴AD=AE，
∴四邊形AEOD是正方形，
∴OD=AD=，∠DOE=90°，
∴S_陰影=S_{正方形AEOD}-S_扇形ODE=（）²-=3-π；

（2）當FG與⊙O切于M，連接OD，OM，OF，過點C作CN⊥FG于N，
∵AC與⊙O相切于點D，
∴∠OFD=∠DFM，
∵∠CFG=60°，
∴∠DFM=120°，
即∠OFD=60°，
∴DF===1，
∴FC=CD-DF=5-1=4，
在Rt△CFN中，d=CN=FC•sin∠CFG=4×=2，
∴當d=2時，直線FG與⊙O相切，
當1≤d＜2時，直線FG與⊙O相離，
當2＜d≤4時，直線FG與⊙O相交．
分析：（1）首先連接OD，OE，由等腰Rt△ABC的直角邊AB、AC分別與圓O相切于點E、D，根據(jù)切線的性質(zhì)，易證得四邊形AEOD是正方形，然后由S_陰影=S_{正方形AEOD}-S_扇形ODE，即可求得答案；
（2）首先由當FG與⊙O切于M，連接OD，OM，OF，過點C作CN⊥FG于N，根據(jù)切線長定理，求得DF的長，然后根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，求得CN的長，繼而可得直線FG與圓O的位置關系．
點評：此題考查了圓的切線的性質(zhì)、切線長定理、正方形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)以及三角函數(shù)等知識．此題綜合性較強，難度較大，解題的關鍵是根據(jù)題意準確作出輔助線，利用數(shù)形結(jié)合思想求解．