Question

如圖，已知二次函數(shù)的圖像開口向下，與x軸的一個交點(diǎn)為B，頂點(diǎn)A在直線y=x上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)。
（1）證明：△AOB是等腰直角三角形；
（2）若△AOB的外接圓C的半徑為1，求該二次函數(shù)的解析式；
（3）對題（2）中所求出的二次函數(shù)，在其圖像上是否存在點(diǎn)P （點(diǎn)P與點(diǎn)A不重合），使得△POC是以PC為腰的等腰三角形，若存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由。

Answer 1

解：（1）∵點(diǎn)A在直線y=x上，
∴設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（m，m），
過點(diǎn)A作AD⊥x軸，交x軸于點(diǎn)D，
∵點(diǎn)A是二次函數(shù)圖像的頂點(diǎn)，
∴直線AD是其對稱軸，
∴點(diǎn)D是OB的中點(diǎn)，
∴OD=DB=AD，
∴△AOB是等腰直角三角形；
（2）∵△AOB是等腰直角三角形，且其外接圓C的半徑為1，
∴點(diǎn)C是OB的中點(diǎn)，（即點(diǎn)C就是上題中的點(diǎn)D），
且OC=CB=1，從而CA=1，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，1），
點(diǎn)B為（2，0），設(shè)該二次函數(shù)的解析式為：，
∵B（2，0）在函數(shù)圖像上，
∴，
解得：a=-1，
∴，即；
（3）設(shè)存在點(diǎn)P（x，y），使得△POC是等腰三角形，
∵P（x，y）是二次函數(shù)圖像上的點(diǎn)，
∴，
可能一：PC=PO，則，從而P（）；
可能二：PC=OC，則PC=1，∴，即，
又，
∴，
解得：y=0或y=1，
y=0時，點(diǎn)P在x軸上，△POC不存在，
y=1時，點(diǎn)P與點(diǎn)A重合，不合題意，
綜上，點(diǎn)P（）。