Question

已知：關(guān)于x的一元二次方程mx²-（3m+2）x+2m+2=0（其中m＞0）．
（1）求證：方程必有兩個不相等的實數(shù)根；
（2）設(shè)方程的兩個實數(shù)根分別為x₁、x₂（x₁＜x₂）．若y是關(guān)于m的函數(shù)，且y=x₂-2x₁，求這個函數(shù)的解析式；
（3）在（2）的條件下，當自變量m滿足條件______時，y≤2m．

Answer 1

【答案】分析：（1）要證明方程必有兩個不相等的實數(shù)根，即證明△＞0，而△=b²-4ac=（3m+2）²-4×m×（2m+2）=（m+2）²，由m＞0，則（m+2）²＞0，得到△＞0；
（2）由x=，得x₁₌，x₂₌；所以y=-2×=．得到y(tǒng)=．
（3）將y=代入不等式y(tǒng)≤2m，得≤2m，又m＞0，解此不等式得m²≥1，又∵m＞0，∴m＞1．
解答：（1）證明：△=b²-4ac=（3m+2）²-4×m×（2m+2）=（m+2）²，
∵m＞0，
∴（m+2）²＞0，
△＞0，即方程必有兩個不相等的實數(shù)根；

（2）解：由x=，得x₂⁼=；x₁⁼=1；
∴y=x₂-2x₁=-2×1=；

（3）解：將y=代入不等式y(tǒng)≤2m，得≤2m，又m＞0，
解此不等式得m²≥1，
又∵m＞0，
∴m≥1
點評：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c為常數(shù)）的根的判別式△=b²-4ac．當△＞0，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當△=0，方程有兩個相等的實數(shù)根；當△＜0，方程沒有實數(shù)根．本題也考查了不等式的解法，m＞0是一個重要的條件．