Question

以四邊形的邊為斜邊分別向外側(cè)作等腰直角三角形，直角頂點分別為，順次連結(jié)這四個點，得四邊形．如圖1，當四邊形為正方形時，我們發(fā)現(xiàn)四邊形是正方形.

（1）如圖2，當四邊形為矩形時，請判斷：四邊形的形狀（不要求證明）；

（2）如圖3，當四邊形為一般平行四邊形時，若，

 ①試求的度數(shù)；

 ②求證：；

 ③請判定四邊形是什么四邊形？并說明理由．

Answer 1

（1）四邊形EFGH是正方形．…………2分

(2) ①∵∠ADC=，

在□ABCD中，AB∥CD，∴∠BAD=180°－∠ADC=140°；

∵△HAD和△EAB都是等腰直角三角形，∴∠HAD=∠EAB=45°，

∴∠HAE=360°－∠HAD－∠EAB－∠BAD＝360°－45°－45°－140°＝130°.………4分

②∵△AEB和△DGC都是等腰直角三角形，∴△AEB≌△CGD，∴AE=BE=CG=DG，

在□ABCD中，AB=CD，∴AE=DG，∵△HAD和△GDC都是等腰直角三角形，

∴∠DHA=∠CDG= 45°，∴∠HDG＝∠HAE．

∵△HAD是等腰直角三角形，∴HA=HD，∴△HAE≌△HDG，∴HE=HG．…………6分

③四邊形EFGH是正方形．

由②同理可得：GH=GF，FG=FE，∵HE=HG（已證），∴GH=GF=FG=FE，

∴四邊形EFGH是菱形；∵△HAE≌△HDG（已證），∴∠DHG=∠AHE，

又∵∠AHD=∠AHG＋∠DHG=90°，∴∠EHG=∠AHG＋∠AHE＝90°，

∴四邊形EFGH是正方形．………………9分