Question

已知：Rt△ABC的斜邊長為5，斜邊上的高為2，將這個直角三角形放置在平面直角坐標系中，使其斜邊AB與x軸重合（其中OA＜OB），直角頂點在y 軸正半軸上（如圖（1））。
（1）求線段OA、OB的長和經(jīng)過點A、B、C的拋物線的關系式；

（2）如圖（2），點D的坐標為（2，0），點P（m，n）是該拋物線上的一個動點（其中m>0，n>0），連接DP交BC于點E。

①當△BDE是等腰三角形時，直接寫出此時點E的坐標；
②又連接CD、CP（如圖（3）），△CDP是否有最大面積？若有，求出△CDP的最大面積和此時點P的坐標；若沒有，請說明理由。

Answer 1

解：（1）∵OC2=OA·OB， ∴OA·OB=4， 又∵OA+OB=5，且OA＜OB， 解得，OA=1，OB=4， ∴A（-1，0），B（4，0），C（0，2）， 設過A、B、C三點的拋物線的解析式為：y=a（x+1）（x-4）， 把C點坐標代入得， ∴；
（2）①當△BDE為等腰三角形時，點E的坐標分別為， ②存在，過點D作直線DM垂直于x軸交CP于點M， 可求得直線CP的解析式為：y=； （i）當點P在直線DM右側時，如圖（1）所示， 此時2＜m＜4， 把x=2代人直線CP的解析式， 得 又P（m，n）在拋物線上， 所以 S △CDP= S△PDM +S△CDM DM·2=·DM=m+n-2， 即 當時，△CDP的面積最大，最大面積為； （ii）當點P在直線DM左側時，如圖（2）所示，此時0＜m≤2， S△CDP= S△CDM - S△DPM ， 當m=2時，S△CDP=3， 綜上所述，當時△CDP的面積最大，其最大面積為，此時。