已知：Rt△ABC的斜邊長為5，斜邊上的高為2，將這個(gè)直角三角形放置在平面直角坐標(biāo)系中，使其斜邊AB與x軸重合（其中OA＜OB），直角頂點(diǎn)在y 軸正半軸上（如圖（1））。
（1）求線段OA、OB的長和經(jīng)過點(diǎn)A、B、C的拋物線的關(guān)系式；
（2）如圖（2），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，0），點(diǎn)P（m，n）是該拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（其中m>0，n>0），連接DP交BC于點(diǎn)E。
①當(dāng)△BDE是等腰三角形時(shí)，直接寫出此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)；
②又連接CD、CP（如圖（3）），△CDP是否有最大面積？若有，求出△CDP的最大面積和此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；若沒有，請(qǐng)說明理由。
解：（1）∵OC2=OA·OB，
∴OA·OB=4，
又∵OA+OB=5，且OA＜OB，
解得，OA=1，OB=4，
∴A（-1，0），B（4，0），C（0，2），
設(shè)過A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式為：y=a（x+1）（x-4），
把C點(diǎn)坐標(biāo)代入得，
∴；
（2）①當(dāng)△BDE為等腰三角形時(shí)，點(diǎn)E的坐標(biāo)分別為，
②存在，過點(diǎn)D作直線DM垂直于x軸交CP于點(diǎn)M，
可求得直線CP的解析式為：y=；
（i）當(dāng)點(diǎn)P在直線DM右側(cè)時(shí)，如圖（1）所示，
此時(shí)2＜m＜4，
把x=2代人直線CP的解析式，
得
又P（m，n）在拋物線上，
所以
S △CDP= S△PDM +S△CDM

DM·2=·DM=m+n-2，
即
當(dāng)時(shí)，△CDP的面積最大，最大面積為；
（ii）當(dāng)點(diǎn)P在直線DM左側(cè)時(shí)，如圖（2）所示，此時(shí)0＜m≤2，
S△CDP= S△CDM - S△DPM

，
當(dāng)m=2時(shí)，S△CDP=3，
綜上所述，當(dāng)時(shí)△CDP的面積最大，其最大面積為，此時(shí)。
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知以Rt△ABC的邊AB為直徑作△ABC的外接圓⊙O，∠ABC的平分線BE交AC于D，交⊙O于E，過E作EF∥AC交BA的延長線于F．
（1）求證：EF是⊙O切線；
（2）若AB=3，EF=2，求CD的長．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知以Rt△ABC的邊AB為直徑作△ABC的外接圓⊙O，∠B的平分線BE交AC于D，交⊙O于E，過E作EF精英家教網(wǎng)∥AC交BA的延長線于F．
（1）求證：EF是⊙O切線；
（2）若AB=15，EF=10，求AE的長．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知以Rt△ABC的邊AB為直徑作△ABC的外接圓⊙O，∠B的平分線BE交AC于D，交
⊙O于E，過E作EF∥AC交BA的延長線于F．
（1）判斷直線EF與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；
（2）若AB=15，EF=10，求AE的長．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2009•深圳）已知：Rt△ABC的斜邊長為5，斜邊上的高為2，將這個(gè)直角三角形放置在平面直角坐標(biāo)系中，使其斜邊AB與x軸重合（其中OA＜OB），直角頂點(diǎn)C落在y軸正半軸上（如圖1）．
（1）求線段OA、OB的長和經(jīng)過點(diǎn)A、B、C的拋物線的關(guān)系式．
（2）如圖2，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，0），點(diǎn)P（m，n）是該拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（其中m＞0，n＞0），連接DP交BC于點(diǎn)E．
①當(dāng)△BDE是等腰三角形時(shí)，直接寫出此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)．
②又連接CD、CP（如圖3），△CDP是否有最大面積？若有，求出△CDP的最大面積和此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；若沒有，請(qǐng)說明理由．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知：Rt△ABC的斜邊長為5，斜邊上的高為2，將這個(gè)直角三角形放置在平面直角坐標(biāo)系中，使其斜邊AB與x軸重合（其中OA＜OB），直角頂點(diǎn)C落在y軸正半軸上，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，0）．
（1）填空：線段OA的長度為
1
1
，OB的長度為
4
4
，經(jīng)過點(diǎn)A、B、C的拋物線的關(guān)系式為
y=-
1
2
x2+
3
2
x+2
y=-
1
2
x2+
3
2
x+2
；
（2）點(diǎn)P（m，n）是該拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（其中m＞0，n＞0），連接DP交BC于點(diǎn)E，當(dāng)△BDE是等腰三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫出此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)．
（3）連接CD、CP，△CDP是否有最大面積？若有，求出△CDP的最大面積和此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；若沒有，請(qǐng)說明理由．

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