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如圖,AB是⊙O的弦,點D是半徑OA上的動點(與點A,O不重合),過點D垂直于OA的直線交⊙O于點E,F,交AB于點C.
(1)點H在直線EF上,如果HC=HB,那么HB是⊙O的切線嗎?
(2)連接AE,AF,如果,求證:AF2=CF•FE
(3)在(2)的條件下,已知CF=8,FE=25,若點D是半徑OA的中點,求⊙O的面積.

【答案】分析:(1)HB為圓O的切線,理由為:連接OB,由HC=HB,利用等邊對等角得到一對角相等,再由對頂角相等,等量代換得到∠HBC=∠ACD,由OA=OB,利用等邊對等角得到一對角相等,再由CD垂直于OA,得到一對角互余,等量代換得到OB垂直于BH,即可得證;
(2)連接AE,AF,由等弧所對的圓周角相等得到一對角相等,再由一對公共角,得到三角形ACF與三角形AEF相似,由相似得比例,變形即可得證;
(3)由(2)結論,將FC與EF代入求出AF,由OA垂直于EF,利用垂徑定理得到D為EF中點,求出FD的長,由AD為半徑一半,在直角三角形AFD中,利用勾股定理求出半徑r,即可求出圓的面積.
解答:(1)HB為圓O的切線,理由為:
證明:連接OB,
∵HC=HB,
∴∠HBC=∠HCB,
∵∠HCB=∠ACD,
∴∠HBC=∠ACD,
∵OA=OB,
∴∠A=∠OBA,
∵CD⊥OA,
∴∠ACD+∠A=90°,
∴∠HBC+∠OBA=90°,即∠OBH=90°,
∴HB為圓O的切線;

(2)證明:∵=,
∴∠FAB=∠E,
∵∠AFC=∠EFA,
∴△ACF∽△EAF,
=,即AF2=FC•EF;

(3)解:由(2)的結論得:AF2=FC•EF=8×25=200,
解得:AF=10,
∵OA⊥EF,∴D為EF的中點,
∴FD=ED=EF=,
∵D為半徑r的中點,
∴AD=r,
在Rt△AFD中,根據勾股定理得:AF2=AD2+FD2,
即200=r2+,
解得:r=5,
則圓O的面積為175π.
點評:此題考查了切線的判定,圓周角定理,垂徑定理,勾股定理,相似三角形的判定與性質,熟練掌握切線的判定方法是解本題的關鍵.
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