【答案】
分析:(1)已知了B點(diǎn)坐標(biāo),即可求出OB的長,根據(jù)△BOC的面積可求得OC的長,即可得到點(diǎn)C的坐標(biāo),進(jìn)而可利用待定系數(shù)法求得直線BC和拋物線的解析式.
(2)由(1)知:OB=OC=3,即∠OCB=45°,若△CPQ與△BOC相似,那么△CPQ也必為等腰直角三角形,因此需要考慮兩種情況:
①以C為直角頂點(diǎn),過C作直線BC的垂線,此垂線與拋物線的交點(diǎn)即為Q點(diǎn),易得直線BC的解析式,根據(jù)CQ⊥BC,可求得直線CQ的斜率,結(jié)合C點(diǎn)坐標(biāo)即可得到直線CQ的解析式,聯(lián)立拋物線的解析式即可求得Q點(diǎn)的坐標(biāo),進(jìn)而可求得CQ的長,那么PQ=
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CQ,由此得解;
②以Q或P為直角頂點(diǎn),過C作x軸的平行線,那么此直線與拋物線的交點(diǎn)必為Q點(diǎn),易得CQ的長,當(dāng)Q為直角頂點(diǎn)時,CQ=PQ,當(dāng)P為直角頂點(diǎn)時,CQ=
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PQ,由此得解.
(3)若旋轉(zhuǎn)后的直線與拋物線只有一個交點(diǎn),有兩種情況需要考慮:
①旋轉(zhuǎn)后直線B′C正好和y軸重合,此時兩個函數(shù)只有一個交點(diǎn)C,由(2)求得PQ=CP=
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或2,那么OP的最小值應(yīng)為3-2=1;
②當(dāng)直線B′C不與y軸重合,設(shè)出該直線的解析式,聯(lián)立拋物線的解析式,若兩個函數(shù)只有一個交點(diǎn),所得方程的判別式等于0,由此可確定此直線(設(shè)為B′C′)的解析式,進(jìn)而求得該直線與x軸交點(diǎn)B′的坐標(biāo),過O作B′C的垂線,在Rt△B′OC中,利用勾股定理易得B′C的長,進(jìn)而可根據(jù)直角三角形面積的不同表示方法求得OP的長;
比較上述兩種情況所得OP的長,即可得到OP的最小值.
解答:
解:(1)∵拋物線y=-x
2+bx+c與x軸的相交于點(diǎn)A和點(diǎn)B(3,0),與y軸交于點(diǎn)C;
∴OB=3,OC=c,-3
2+3b+c=0,
∵S
△BOC=
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OB•OC=
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,
∴c=3,b=2;
∴拋物線的函數(shù)解析式為:y=-x
2+2x+3;(2分)
設(shè)直線BC的函數(shù)解析式為y=kx+m,
則
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,
∴

∴直線BC的函數(shù)解析式為y=-x+3.(4分)
(2)由于OB=OC=3,則△OBC是等腰直角三角形,
若C、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△BOC相似,則△CPQ也必為等腰直角三角形,
①過C作直線CQ⊥BC,交拋物線于Q;
易知C(0,3),且直線BC:y=-x+3;
故直線CQ:y=x+3,聯(lián)立拋物線的解析式有:
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,
解得
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,

;
故Q(1,4),CQ=
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;
則PQ=
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CQ=2;
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②過C作直線CQ∥x軸,交拋物線于Q;
則Q(2,3),CQ=2;
當(dāng)Q為直角頂點(diǎn)時,PQ=CQ=2;
當(dāng)P為直角頂點(diǎn)時,PQ=
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CQ=
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;
綜上可知:存在以C、P、Q為頂點(diǎn)的三角形,使得它與△BOC相似;PQ的長為:PQ=
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或2.(6分)
(3)OP=1.
在上述條件下,把直線BC繞C旋轉(zhuǎn);當(dāng)直線與拋物線只有一個公共點(diǎn)時,則公共點(diǎn)為C(0,3)(有兩種情況)
①直線BC與y軸重合時,顯然,OP=1;(7分)
②直線BC與y軸重合時,設(shè)直線BC繞C旋轉(zhuǎn)后的直線B′C函數(shù)解析式為:(B′為直線B′C與x軸的交點(diǎn))y=kx+3,
把y=kx+3代入y=-x
2+2x+3中得:
kx+3=-x
2+2x+3,
整理得x
2+(k-2)x=0,
∴△=(k-2)
2=0,
∴k=2,
∴設(shè)直線B′C的函數(shù)解析式為:y=2x+3;(8分)
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令y=0,則2x+3=0,得x=
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,
∴B′(
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,0),
∴OB′=
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;
作OP⊥CB′于點(diǎn)P,此時OP的值最�。唬�10分)
此時,CB′•OP=OB′•OC,
∵OB′=
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,OC=3,
CB′=
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,
∴OP=
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;(11分)
綜上得,OP=1.(12分)
點(diǎn)評:此題考查了圖形面積的求法、二次函數(shù)解析式的確定、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、函數(shù)圖象交點(diǎn)坐標(biāo)的求法等知識,(2)(3)題中,都用到了分類討論的數(shù)學(xué)思想,一定要將問題考慮全面,以免漏解.