Question

已知：直角梯形OABC中，CB∥OA，對角線OB和AC交于點D，OC=2，CB=2，OA=4，點P為對角線CA上的一點，過點P作QH⊥OA于H，交CB的延長線于點Q，連接BP，如果△BPQ∽△PHA，則點P的坐標為    ．

Answer 1

【答案】分析：先根據(jù)點A、點C的坐標利用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式，當HQ在點B的左側(cè)時和QH在點B的右側(cè)時利用相似三角形的性質(zhì)就可以求出點P的坐標．
解答：解：∵OC=2，OA=4，
∴C（0，2），A（4，0）．
設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，由題意，得
，
解得，
故直線AC的解析式為：y=-x+2．
如圖2，在點B的右側(cè)，當△BQP∽△AHP時，
則，
則BQ．PH=AH．PQ．
∵點P在直線AC上，設(shè)點P的坐標為（x，-x+2）（0＜x＜4），
∴CQ=x，OH=x，PH=-x+2，
∵CB=2，OA=4，OH=2，
∴BQ=x-2，AH=4-x，PQ=x．
∴（x-2）（-x+2）=（4-x）（x），
解得x=4（舍去）．
當△BQP∽△PHA時，
則，即BQ．AH=PH．PQ，
（x-2）（4-x）=（-x+2）（x），
解得x₁=，x₂=4（舍去）
則y=，
則P（，）．
∴P（，）．
故答案為：P（，）．

點評：本題是一道相似三角形的綜合試題，考查了相似三角形的性質(zhì)的運用，待定系數(shù)法求直線的解析式的運用及分類討論思想的運用．本題難度較大，涉及的情況較多，解答時不要漏解．