Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=x+1與交于點(diǎn)A，分別交x軸于點(diǎn)B和點(diǎn)C，點(diǎn)D是直線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．
（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)．
（2）當(dāng)△CBD為等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．
（3）在直線AB上是否存在點(diǎn)E，使得以點(diǎn)E，D，O，A為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？如果存在，直接寫出有幾種情況．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用直線y=x+1與交于點(diǎn)A，直接聯(lián)立函數(shù)解析式求出即可；
（2）當(dāng)△CBD為等腰三角形時(shí)，有三種情況當(dāng)BD₁=D₁C時(shí)，當(dāng)BC=BD₂時(shí)，當(dāng)CD₃=BC分別得出即可；
（3）以點(diǎn)E，D，O，A為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形有三種情形．
解答：解：（1）由題意，得：，
解得：，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（，）．

（2）當(dāng)△CBD為等腰三角形時(shí)，有以下三種情況，如圖（1）．設(shè)動(dòng)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（x，y）．
在y=x+1中，當(dāng)y=0時(shí)，x+1=0，
∴x=-1，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-1，0）．
在y=-+3中，當(dāng)y=0時(shí)，-x+3=0，
∴x=4，
點(diǎn)C的坐標(biāo)為（4，0）．
∴BC=5．
①當(dāng)BD₁=D₁C時(shí)，過點(diǎn)D₁作D₁M₁⊥x軸，垂足為點(diǎn)M₁，則BM₁=M₁C=BC．
∴BM₁=，OM₁=-1=，x=，
∴y=-×+3=，點(diǎn)D₁的坐標(biāo)為（，）．
②當(dāng)BC=BD₂時(shí)，過點(diǎn)D₂作D₂M₂⊥x軸，垂足為點(diǎn)M₂，則D₂M₂²+M₂B²=D₂B²．
∵M(jìn)₂B=-x-1，D₂M₂=-x+3，D₂B=5，
∴（-x-1）²+（-x+3）²=5²，
解得：x₁=-，x₂=4（舍去）．此時(shí)，y=-×（-）+3=，
∴D₂的坐標(biāo)為（-，），
③當(dāng)CD₃=BC時(shí)，CB=5，CD₃=5，此時(shí)D₃坐標(biāo)為（0，3），
當(dāng)CD₄=BC時(shí)，BC=CD₄，=5，M₄D₄=OD₃=3，CO=CM₄=4，則D點(diǎn)坐標(biāo)為（8，-3）．（6分）
由此可得點(diǎn)D的坐標(biāo)分別為D₁（，），D₂（-，），D₃（0，3），D₄（8，-3）．

（3）存在．以點(diǎn)E，D，O，A為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形有三種情形．（8分）
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了等腰三角形的判定以及兩直線交點(diǎn)的求法以及平行四邊形的判定等知識(shí)，注意分類討論思想的應(yīng)用不要漏解．