Question

【題目】已知△ABC為等邊三角形，點D是線段AB上一點（不與A、B重合）．將線段CD繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段CE．連結(jié)DE、BE．

（1）依題意補全圖1并判斷AD與BE的數(shù)量關(guān)系．

（2）過點A作AF⊥EB交EB延長線于點F．用等式表示線段EB、DB與AF之間的數(shù)量關(guān)系并證明．

Answer 1

【答案】（1）補全圖形見解析；AD＝BE；（2）EB+DB＝AF；證明見解析．

【解析】

（1）根據(jù)題意補全圖形，由等邊三角形的性質(zhì)得出，，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，，得出，證明，即可得出結(jié)論；

（2）由全等三角形的性質(zhì)得出，，求出，在中，由三角函數(shù)得出，，即可得出結(jié)論．

解：（1）補全圖形如圖1所示，AD＝BE，理由如下：

∵△ABC是等邊三角形，

∴AB＝BC＝AC，∠A＝∠B＝60°，

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：∠ACB＝∠DCE＝60°，CD＝CE，

∴∠ACD＝∠BCE，

在△ACD和△BCE中，，

∴△ACD≌△BCE（SAS），

∴AD＝BE；

（2）EB+DB＝AF；理由如下：

由（1）得：△ACD≌△BCE，

∴AD＝BE，∠CBE＝∠CAD＝60°，

∴∠ABF＝180°﹣∠ABC﹣∠CBE＝60°，

∵AF⊥EB，

∴∠AFB＝90°，

在Rt△ABF中，＝sin60°＝，

∴AB＝AF＝AF，

∵AD+DB＝AB，

∴EB+DB＝AB，

∴EB+DB＝AF．