Question

（2012•江西模擬）如圖1，在△ABC中，AD是BC上的高，EF是中位線，AD與EF相交于點(diǎn)O，若將△AEO與△AFO分別繞E、F兩點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，可與梯形EBCF構(gòu)成矩形PBCQ，我們把這樣形成的矩形稱為△ABC的一個(gè)等積矩形．

（1）若△ABC的邊BC=5，高AD=6，則等積矩形PBCQ的長(zhǎng)為

5

，寬為

3

；
（2）在圖2中，∠C=90°，BC=2，AC=4，試求△ABC的所有等積矩形的長(zhǎng)和寬；
（3）如圖3中矩形的長(zhǎng)為3，寬為2，則能形成這樣的等積矩形的三角形有多少個(gè)？試探究其中周長(zhǎng)最小的三角形的三邊長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)矩形性質(zhì)得出即可；
（2）根據(jù)題意畫出圖形，根據(jù)矩形性質(zhì)即可得出答案；
（3）畫出圖形，根據(jù)矩形性質(zhì)求出即可．

解答：解：（1）故答案為：5，3；      

（2）在圖②中，可形成如下三個(gè)等積矩形：
在圖（1）中的矩形長(zhǎng)為2，寬為2，
在圖（2）中的矩形長(zhǎng)為4，寬為1，
在圖（3）中的矩形長(zhǎng)為

42+22

=2

5

，寬為

4×2

2×2 5

=

2 5

5

；    

（3）能形成這樣的等積矩形的三角形有無(wú)數(shù)個(gè)．
其中，當(dāng)以BC為底時(shí)，構(gòu)成已知等積矩形的三角形的高是4，
則這樣的三角形的另一頂點(diǎn)P在如下圖（1）所示的四個(gè)矩形拼成的圖形中的EF上，當(dāng)P為EF的中點(diǎn)時(shí)，△PBC的周長(zhǎng)最小，
PB+PC+BC=3+

32+82

=3+

73

；     
當(dāng)以AB為底時(shí)，構(gòu)成已知等積矩形的三角形的高是6，
這樣的三角形的另一頂點(diǎn)P在如圖（2）中的EF上，
同理當(dāng)P為EF的中點(diǎn)時(shí)，△PAB的周長(zhǎng)最小，
PB+PA+AB=2+

22+122

=2+2

37

； 
∵3+

73

＜12，2+2

37

＞1
∴可形成此等積矩形的三角形的周長(zhǎng)最小值為3+

73

．
此時(shí)，三角形的三邊長(zhǎng)分別為3，

73

2

，

73

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了矩形性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的理解能力和計(jì)算能力．