Question

如圖1，在等腰直角△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，小敏將一塊三角板中含45°角的頂點放在A上，從AB邊開始繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)一個角α，其中三角板斜邊所在的直線交直線BC于點D，直角邊所在的直線交直線BC于點E．

（1）小敏在線段BC上取一點M，連接AM，旋轉(zhuǎn)中發(fā)現(xiàn)：若AD平分∠BAM，則AE也平分∠MAC．請你證明小敏發(fā)現(xiàn)的結(jié)論；

（2）當(dāng)0°＜α≤45°時，小敏在旋轉(zhuǎn)中還發(fā)現(xiàn)線段BD、CE、DE之間存在如下等量關(guān)系：BD²+CE²=DE²．同組的小穎和小亮隨后想出了兩種不同的方法進行解決；小穎的想法：將△ABD沿AD所在的直線對折得到△ADF（如圖2）；小亮的想法：將△ABD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ACG（如圖3）．請你選擇其中的一種方法證明小敏的發(fā)現(xiàn)的是正確的．

 

Answer 1

（1）證明：如圖1，∵∠BAC=90°，

∴∠BAD+∠DAM+∠MAE+∠EAC=90°．

∵∠DAE=45°，

∴∠BAD+∠EAC=45°．

∵∠BAD=∠DAM，

∴∠BAD+∠EAC=∠DAM+∠EAC=45°，

∴∠BAD+∠MAE=∠DAM+∠EAC，

∴∠MAE=∠EAC，即AE平分∠MAC；

（2）如圖2，連接EF．

     由折疊可知，∠BAD＝∠FAD，AB＝AF，BD＝DF，

     ∵∠BAD＝∠FAD，

     ∴由（1）可知，∠CAE=∠FAE．

     在△AEF和△AEC中，

∵ AF=AC，∠FAE=∠CAE，AE=AE   ，

∴△AEF≌△AEC（SAS），       

∴CE=FE，∠AFE=∠C=45°．

∴∠DFE＝∠AFD＋∠AFE＝90°．

在Rt△DFE中，DF²+FE²=DE²，

∴BD²+CE²=DE²．              

     （利用旋轉(zhuǎn)的方法證明相應(yīng)給分）