Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠C＝90°，點D是邊AB上的動點，過點D作DE∥BC交AC于E，過E作EF∥AB交BC于F，連結DF．

（1）若點D是AB的中點，證明：四邊形DFEA是平行四邊形；

（2）若AC＝8，BC＝6，直接寫出當△DEF為直角三角形時AD的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）AD的值為5或．

【解析】

（1）先證明DF∥AE，EF∥AD即可；

（2）分兩種情形分別求解即可解決問題；

（1）證明：∵AD＝DB，DE∥BC，

∴AE＝EC，

∵EF∥AB，

∴BF＝CF，∵AD＝DB，

∴DF∥AC，∵EF∥AB，

∴四邊形DFEA是平行四邊形．

（2）情形1：當點D是AB的中點，由（1）可知：DE∥BC，DF∥EC，

∴四邊形DECF是平行四邊形，

∵∠ECF＝90°，

∴四邊形DECF是矩形，

∴∠EDF＝90°，△DEF是直角三角形，此時AD＝AB＝×＝5．

情形2：如圖，當∠DFE＝90°時，設AD＝x．

則AE＝x．BD＝10﹣x，EC＝8﹣x，BF＝（10﹣x），CF＝（8﹣x），

∵BF+CF＝6，

∴（10﹣x）+（8﹣x）＝6

∴x＝，

綜上所述，AD的值為5或．