Question

如圖，宜昌西陵長江大橋?qū)儆趻佄锞€形懸索橋，橋面（視為水平的）與主懸鋼索之間用垂直鋼拉索連接．橋兩端主塔塔頂?shù)暮０胃叨染?87.5米，橋的單孔跨度（即兩主塔之間的距離）900米，這里水面的海拔高度是74米．若過主塔塔頂?shù)闹鲬忆撍鳎ㄒ暈閽佄锞€）最低點(diǎn)離橋面（視為直線）的高度為0.5米，橋面離水面的高度為19米．請你計(jì)算距離橋兩端主塔100米處垂直鋼拉索的長．（結(jié)果精確到0.1米）

Answer 1

【答案】分析：拋物線問題一般應(yīng)放在直角坐標(biāo)系里解決，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，可以使拋物線解析式簡便，簡化運(yùn)算．常見方法有：以拋物線對(duì)稱軸作為y軸（拋物線解析式缺少一次項(xiàng)），以拋物線頂點(diǎn)為坐標(biāo)系的原點(diǎn)（拋物線解析式只有二次項(xiàng)），等等．選擇了坐標(biāo)系，按照某些點(diǎn)的相對(duì)位置，象限確定點(diǎn)的坐標(biāo)，求拋物線解析式，從而用拋物線解析式解決實(shí)際問題．
解答：解：（方法一）如圖，以橋面上位于主懸鋼索最低點(diǎn)的正下方一點(diǎn)坐標(biāo)原點(diǎn)，以橋面（上豎直鋼拉索與橋面連接點(diǎn)）所在的直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，
主塔塔頂距離橋面可由海拔高度計(jì)算：187.5-74-19=94.5m，BC縱坐標(biāo)都是94.5
由于兩塔之間距離為900m，BC兩點(diǎn)與A點(diǎn)距離相等，B橫坐標(biāo)為-450，C點(diǎn)橫坐標(biāo)為
450
則A（0，0.5），B（-450，94.5），C（450，94.5），
由題意，設(shè)拋物線為：y=ax²+0.5，
將C（450，94.5）代入求得：
或，
∴，
當(dāng)x=350時(shí)，y=57.4．
∴離橋兩端主塔100米處豎直鋼拉索的長都約為57.4米．

（方法二）如圖，以拋物線形主懸鋼索最低點(diǎn)為原點(diǎn)，以平行于橋面的（豎直鋼拉索與橋面連接點(diǎn)所在的）直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，
則B（-450，94），C（450，94），
設(shè)拋物線為：y=ax²，
將C（450，94）代入求得：
或，
∴，
距離主塔100米處點(diǎn)的橫坐標(biāo)是450-100=350，距離主塔50米處點(diǎn)的橫坐標(biāo)是
450-50=400
當(dāng)x=350時(shí)，y=56.9，當(dāng)x=400時(shí)，y=74.3，（6分）
∴56.9+0.5=57.4，74.3+0.5=74.8．
∴離橋兩端主塔100米處豎直鋼拉索的長約為57.4米．
點(diǎn)評(píng)：本題建立直角坐標(biāo)系有多種方法，拋物線的解析式形式也有多種，但是它們的二次項(xiàng)系數(shù)相同．