Question

如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)坐標(biāo)為（2,4）,直線(xiàn)x=2與軸相交于點(diǎn),連結(jié),拋物線(xiàn)y=x從點(diǎn)沿方向平移,與直線(xiàn)x=2交于點(diǎn),頂點(diǎn)到點(diǎn)時(shí)停止移動(dòng)．

（1）求線(xiàn)段所在直線(xiàn)的函數(shù)解析式;

（2）設(shè)拋物線(xiàn)頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,

①用的代數(shù)式表示點(diǎn)的坐標(biāo);

②當(dāng)為何值時(shí),線(xiàn)段最短;

（3）當(dāng)線(xiàn)段最短時(shí),相應(yīng)的拋物線(xiàn)上是否存在點(diǎn),使△的面積與△的面積相等,若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）OA所在直線(xiàn)的函數(shù)解析式為y=2x;

（2）①點(diǎn)P的坐標(biāo)是（2,m²﹣2m+4）;②當(dāng)m=1時(shí),PB最短;

（3）拋物線(xiàn)上存在點(diǎn),Q₁（2+,5+2）,Q₂（2﹣,5﹣2）,Q₃（2,3）,使△QMA與△PMA的面積相等,理由見(jiàn)解析．

【解析】

試題分析:（1）根據(jù)A點(diǎn)的坐標(biāo),用待定系數(shù)法即可求出直線(xiàn)OA的解析式;

（2）①由于M點(diǎn)在直線(xiàn)OA上,可根據(jù)直線(xiàn)OA的解析式來(lái)表示出M點(diǎn)的坐標(biāo),因?yàn)镸點(diǎn)是平移后拋物線(xiàn)的頂點(diǎn),因此可用頂點(diǎn)式二次函數(shù)通式來(lái)設(shè)出這個(gè)二次函數(shù)的解析式,P的橫坐標(biāo)為2,將其代入拋物線(xiàn)的解析式中即可得出P點(diǎn)的坐標(biāo);

②PB的長(zhǎng),實(shí)際就是P點(diǎn)的縱坐標(biāo),因此可根據(jù)其縱坐標(biāo)的表達(dá)式來(lái)求出PB最短時(shí),對(duì)應(yīng)的m的值;

（3）根據(jù)（2）中確定的m值可知:M、P點(diǎn)的坐標(biāo)都已確定,因此AM的長(zhǎng)為定值,若要使△QMA的面積與△PMA的面積相等,那么Q點(diǎn)到AM的距離和P到AM的距離應(yīng)該相等,因此可分兩種情況進(jìn)行討論:

①當(dāng)Q在直線(xiàn)OA下方時(shí),可過(guò)P作直線(xiàn)OA的平行線(xiàn)交y軸于C,那么平行線(xiàn)上的點(diǎn)到OA的距離可相等,因此Q點(diǎn)必落在直線(xiàn)PC上,可先求出直線(xiàn)PC的解析式,然后利用拋物線(xiàn)的解析式,看得出的方程是否有解,如果沒(méi)有則說(shuō)明不存在這樣的Q點(diǎn),如果有解,得出的x的值就是Q點(diǎn)的橫坐標(biāo),可將其代入拋物線(xiàn)的解析式中得出Q點(diǎn)的坐標(biāo);

②當(dāng)Q在直線(xiàn)OA上方時(shí),同①類(lèi)似,可先找出P關(guān)于A點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D,過(guò)D作直線(xiàn)OA的平行線(xiàn)交y軸于E,那么直線(xiàn)DE上的點(diǎn)到AM的距離都等于點(diǎn)P到AM上的距離,然后按①的方法進(jìn)行求解即可．

試題解析:（1）設(shè)OA所在直線(xiàn)的函數(shù)解析式為y=kx,

∵A（2,4）,

∴2k=4,

∴k=2,

∴OA所在直線(xiàn)的函數(shù)解析式為y=2x;

（2）①∵頂點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m,且在線(xiàn)段OA上移動(dòng),

∴y=2m（0≤m≤2）．

∴頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m,2m）．

∴拋物線(xiàn)函數(shù)解析式為y=（x﹣m）²+2m．

∴當(dāng)x=2時(shí),y=（2﹣m）²+2m=m²﹣2m+4（0≤m≤2）．

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是（2,m²﹣2m+4）;

②∵PB=m²﹣2m+4=（m﹣1）²+3,

又∵0≤m≤2,

∴當(dāng)m=1時(shí),PB最短;

（3）當(dāng)線(xiàn)段PB最短時(shí),此時(shí)拋物線(xiàn)的解析式為y=（x﹣1）²+2

即y=x²﹣2x+3．

假設(shè)在拋物線(xiàn)上存在點(diǎn)Q,使S_△QMA=S_△PMA．

設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（x,x²﹣2x+3）．

①點(diǎn)Q落在直線(xiàn)OA的下方時(shí),過(guò)P作直線(xiàn)PC∥AO,交y軸于點(diǎn)C,

∵PB=3,AB=4,

∴AP=1,

∴OC=1,

∴C點(diǎn)的坐標(biāo)是（0,﹣1）．

∵點(diǎn)P的坐標(biāo)是（2,3）,

∴直線(xiàn)PC的函數(shù)解析式為y=2x﹣1．

∵S_△QMA=S_△PMA,

∴點(diǎn)Q落在直線(xiàn)y=2x﹣1上．

∴x²﹣2x+3=2x﹣1．

解得x₁=2,x₂=2,

即點(diǎn)Q（2,3）．

∴點(diǎn)Q與點(diǎn)P重合．

∴此時(shí)拋物線(xiàn)上存在點(diǎn)Q（2,3）,使△QMA與△APM的面積相等．

②當(dāng)點(diǎn)Q落在直線(xiàn)OA的上方時(shí),

作點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱(chēng)稱(chēng)點(diǎn)D,過(guò)D作直線(xiàn)DE∥AO,交y軸于點(diǎn)E,

∵AP=1,

∴EO=DA=1,

∴E、D的坐標(biāo)分別是（0,1）,（2,5）,

∴直線(xiàn)DE函數(shù)解析式為y=2x+1．

∵S_△QMA=S_△PMA,

∴點(diǎn)Q落在直線(xiàn)y=2x+1上．

∴x²﹣2x+3=2x+1．

解得:x₁=2+,x₂=2﹣．

代入y=2x+1得:y₁=5+2,y₂=5﹣2．

∴此時(shí)拋物線(xiàn)上存在點(diǎn)Q₁（2+,5+2）,Q₂（2﹣,5﹣2）

使△QMA與△PMA的面積相等．

綜上所述,拋物線(xiàn)上存在點(diǎn),Q₁（2+,5+2）,Q₂（2﹣,5﹣2）,Q₃（2,3）,使△QMA與△PMA的面積相等．

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考點(diǎn):二次函數(shù)綜合題．