Question

如圖，點(diǎn)A在y軸上，點(diǎn)B在x軸上，且OA=OB=1，經(jīng)過原點(diǎn)O的直線l交線段AB于點(diǎn)C，過C作OC的垂線，與直線x=1相交于點(diǎn)P，現(xiàn)將直線l繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，使交點(diǎn)C從A向B運(yùn)動(dòng)，但P點(diǎn)必須在第一象限內(nèi)，并記AC的長為t，分析此圖后，對下列問題作出探究：
（1）通過動(dòng)手測量線段OC和CP的長來判斷它們之間的大小關(guān)系？并證明你得到的結(jié)論；
（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，b），試寫出b關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式和變量t的取值范圍。
（3）若題中的“P點(diǎn)必須在第一象限內(nèi)”改為“P點(diǎn)在直線x=1上”，其他條件不變，求出當(dāng)△PBC為等腰三角形時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)。 

Answer 1

解：（1）OC=CP
證明：過點(diǎn)C作ED∥OB交直線x=1于點(diǎn)D，交y軸于點(diǎn)E
∴∠OEC=∠EOB=90°，∠OBD=∠BDE=90°
∴四邊形OBDE是矩形 ∴OE=BD
∵OA=OB   ∴∠ACE=∠EAC=45° ∴∠BCD=∠CBD=45° ∴CD=DB   ∴OE=CD　　
∵OC⊥CP   ∴∠1+∠3=90° ∴∠2+∠3=90° ∴∠1=∠2
∵∠OEC=∠PDC=90° ∴△OCE≌△CPD　 ∴OC=CP　
（2）∵AC=t   ∴AE=
∵AO=1   ∴OE= 　∴BD=　　∴b=PB=DB-DP=-DP 　
∵DP=EC=　 ∴b=　　　　　　　　
∵點(diǎn)P在第一象限內(nèi)  ∴b=（0≤t＜）
（3）當(dāng)t=0時(shí)，即點(diǎn)C與點(diǎn)A重合時(shí)△PBC為等腰三角形 ∴P（1，1）　　　　　　　　　　
當(dāng)點(diǎn)P在第四象限且CB=BP時(shí)，有BD=CD=
∴BP=BC=CD=-t   ∴DP=BD+BP=+-t
由（2）知，DP=CE=   ∴+-t=
∴t=1　　 ∴CB=AB-AC=-t=-1
∴PB=CB=-1　　　
∵點(diǎn)P在第四象限 ∴P（1，1-）
綜上可知：P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1）或（1，1-）