Question

【題目】如圖：拋物線y＝x2+bx+c與直線y＝﹣x﹣1交于點(diǎn)A，B．其中點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為2．點(diǎn)P（m，n）是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)．

（1）求拋物線的表達(dá)式；

（2）過點(diǎn)P的直線垂直于x軸，交拋物線于點(diǎn)Q，求線段PQ的長度l與m的關(guān)系式，m為何值時(shí)，PQ最長？

（3）在平角直角坐標(biāo)系中，我們把橫、縱坐標(biāo)都為整數(shù)的點(diǎn)稱為整點(diǎn)，記頂點(diǎn)都是整點(diǎn)的四邊形為整點(diǎn)四邊形，在（2）的情況下，在平面內(nèi)找出所有符合要求的整點(diǎn)R，使P、Q、B、R為整點(diǎn)平行四邊形，請(qǐng)直接寫出整點(diǎn)R的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）l＝﹣m2+m+2，當(dāng)m＝時(shí)，PQ最長，最大值為；（3）符合條件的點(diǎn)R有，它的坐標(biāo)為（2，﹣1）或（2，﹣5）或（0，﹣3）或（﹣2，﹣1）．

【解析】

（1）先由一次函數(shù)解析式求出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)待定系數(shù)法，可得拋物線的解析式；

（2）根據(jù)平行于y軸直線上兩點(diǎn)間的距離是較大的縱坐標(biāo)減較小的縱坐標(biāo)，可得二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得答案；

（3）使P，Q，B，R為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，可以分兩種情況：一是PQ為一邊時(shí)，根據(jù)PQ的長是正整數(shù)，可得PQ，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，對(duì)邊平行且相等，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)表示方法，可得答案，二是PQ為一條對(duì)角線時(shí)，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，PQ與BR互相平分，此時(shí)R與C 重合．

（1）∵拋物線y＝x2+bx+c與直線y＝﹣x﹣1交于點(diǎn)A，B，

∴當(dāng)y＝0時(shí)，﹣x﹣1＝0，

解得x＝﹣1，

∴A（﹣1，0），

∵點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為2，

∴﹣x﹣1＝﹣2﹣1＝﹣3，

∴B（2，﹣3），

將A（﹣1，0），B（2，﹣3）代入y＝x2+bx+c得：

，

解得，，

∴拋物線的解析式為：y＝x2﹣2x﹣3；

（2）∵點(diǎn)P在直線AB上，Q拋物線上，P（m，n），

∴n＝﹣m﹣1，Q（m，m2+2m﹣3）

∴PQ的長l＝（﹣m﹣1）﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+m+2，

∴當(dāng)m＝＝時(shí)，PQ的長l最大＝﹣++2＝．

答：線段PQ的長度l與m的關(guān)系式為：l＝﹣m2+m+2，當(dāng)m＝時(shí)，PQ最長，最大值為；

（3）由（2）可知，0＜PQ≤．

①當(dāng)PQ為邊時(shí)，BR∥PQ且BR＝PQ．

∵R是整點(diǎn)，B（2，﹣3），

∴PQ是正整數(shù)，

∴PQ＝1，或PQ＝2．

當(dāng)PQ＝1時(shí)，

﹣m2+m+2=1，

∴m=,

此時(shí)P，Q不是整點(diǎn)，不合題意舍去，

當(dāng)PQ＝2時(shí)，

﹣m2+m+2=2，

∴m1=0，m2=1，

∵BR＝2，此時(shí)點(diǎn)R的橫坐標(biāo)為2，

∴縱坐標(biāo)為﹣3+2＝﹣1或﹣3﹣2＝﹣5，

即R（2，﹣1）或R（2，﹣5）．

②當(dāng)PQ為平行四邊形的一條對(duì)角線，則PQ與BR互相平分，

當(dāng)PQ＝1時(shí)，即：﹣x﹣1﹣（x2﹣2x﹣3）＝1，此時(shí)x不是整數(shù)，

當(dāng)PQ＝2時(shí)，即﹣x﹣1﹣（x2﹣2x﹣3）＝2，此時(shí)x1＝﹣1，x2＝0；

∴x1＝﹣1，R與點(diǎn)C重合，即R（0，﹣3），

x2＝0；此時(shí)R（﹣2，﹣1）．

綜上所述，符合條件的點(diǎn)R有，它的坐標(biāo)為（2，﹣1）或（2，﹣5）或（0，﹣3）或（﹣2，﹣1）．