Question

如圖，拋物線經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)，頂點(diǎn)為D，且與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為E．
（1）求拋物線的解析式；
（2）求四邊形ABCD的面積；
（3）判斷△AOB與△BDE是否相似？如果相似，請(qǐng)予證明；如果不相似，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）運(yùn)用待定系數(shù)法，直接代入y=ax²+bx+c可以求出二次函數(shù)解析式；
（2）可以運(yùn)用配方法求出二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)，再將四邊形分割成2個(gè)三角形，可以得出面積；
（3）利用勾股定理得出BD與DE的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理的逆定理，得出∠BDE=90°，再利用兩邊對(duì)應(yīng)成比例，且?jiàn)A角相等，得出三角形相似．
解答：解：（1）設(shè)拋物線的解析式為y=ax²+bx+c（a≠0），將點(diǎn)A（-1，0）、B（0，3）、C（2，3）三點(diǎn)坐標(biāo)代入，
得，
∴，
∴拋物線的解析式為y=-x²+2x+3．

（2）如圖，設(shè)對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)F，連接BF，
y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，4），F(xiàn)的坐標(biāo)為（1，0）．
∴S_{四邊形ABCD}=S_△ABC+S_△BDC=BC•HF+BC•DH=×2×1+×2×3=4；

（3）△AOB與△BDE相似．
證明：∵BD==，BE==3，
DE===2，
∴BD²+BE²=2+18=20=DE²，
∴∠DBE=90°，
在Rt△AOB中，OA=1，OB=3，
∴，
∴△AOB∽△DBE．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式以及分割四邊形求面積和相似三角形的判定等知識(shí)，考查內(nèi)容比較全面，而且考查知識(shí)都是中考中熱點(diǎn)問(wèn)題，同學(xué)們應(yīng)熟練地應(yīng)用這些知識(shí)．