Question

已知k、a都是正整數，2004k+a、2004（k+1）+a都是完全平方數．
（1）請問這樣的有序正整數（k，a）共有多少組？
（2）試指出a的最小值，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）由于2004k+a、2004（k+1）+a都是完全平方數，根據完全平方數的定義可設2004k+a=m²①，2004（k+1）+a=n²②，（這里m、n都是正整數），將②-①，得n²-m²=2004，即（n+m）（n-m）=2×2×3×167，由于m+n與n-m的奇偶性相同，可得關于m、n的二元一次方程組，解方程組求出m、n的值，再根據k、a都是正整數，即可確定滿足條件的（k，a）的組數．
（2）由（1）知，a是k的一次函數，根據一次函數的增減性，并結合k的取值范圍，即可求出a的最小值．

解答：解：（1）設2004k+a=m²，①
2004（k+1）+a=n²，②
這里m、n都是正整數，則n²-m²=2004．
故（n+m）（n-m）=2004=2×2×3×167．
注意到，m+n、n-m的奇偶性相同，則

n+m=1 002 n-m=2

    或

n+m=334 n-m=6.

解得

n=502 m=500

    或

n=170 m=164.

當n=502，m=500時，由式①得2004k+a=250000．
即：a=250000-2004k  ③．∵k、a都是正整數，
∴k＞0，250000-2004k＞0，
解得：0＜k＜124.75…．      
∴k可以取值1，2，…，124，相應得滿足要求的正整數數組（k，a）共124組．
當n=170，m=164時，由式①得2004k+a=26896．
即a=26896-2004k  ④．
∵k、a都是正整數，
∴k＞0，26896-2004k＞0，
解得：0＜k＜13.42…．      
∴k可以取值1，2，…，13，相應得滿足要求的正整數數組（k，a）共13組．
從而，滿足要求的正整數數組（k，a）共有：124+13=137（組）．
故這樣的有序正整數（k，a）共有137組；

（2）由③、④可知a是k的一次函數，且a隨k的增大而減小，
即當k取最大值時，a有最小值．
對于③，當k=124時，a=1504，
對于④，當k=13時，a=844．
故a的最小值應為844．

點評：本題考查了完全平方數，奇數、偶數的性質，二元一次方程組及一元一次不等式組的整數解等知識，綜合性較強，屬于競賽題型，有一定難度．本題由m+n與n-m的奇偶性相同得出關于m、n的二元一次方程組是解題的關鍵．