Question

12．如圖，在?ABCD中，AC，BD交于點O，AE⊥BC于E，EO交AD于F，求證：四邊形AECF是矩形．

Answer 1

分析 由ASA證明△AOF≌△COE，得出對應邊相等EO=FO，證出四邊形AFCE為平行四邊形，再由AE⊥BC求出∠AEC=90°，根據(jù)矩形的判定得出即可．

解答 證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AE∥FC，
∴∠EAO=∠FCO，
∵EF垂直平分AC，
∴AO=CO，F(xiàn)E⊥AC，
在△AOF和△COE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FAO=∠ECO}\\{AO=CO}\\{∠AOF=∠COE}\end{array}\right.$，
∴△AOF≌△COE（ASA），
∴EO=FO，
∵AO=OC，
∴四邊形AFCE為平行四邊形，
∵AE⊥BC，
∴∠AEC=90°，
∴四邊形AFCE為矩形．

點評 本題考查了全等三角形的性質和判定平行四邊形的判定和性質；熟練掌握矩形的判定，證明三角形全等是解決問題的關鍵．