Question

【題目】課外興趣小組活動(dòng)時(shí)，老師提出了如下問題： 如圖1，△ABC中，若AB=5，AC=3，求BC邊上的中線AD的取值范圍．
小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：延長(zhǎng)AD到E，使DE=AD，再連接BE，（或?qū)ⅰ鰽CD繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°得到△EBD），把AB、AC、2AD集中在△ABE中，利用三角形的三邊關(guān)系可得2＜AE＜8，則1＜AD＜4．
[感悟]解題時(shí)，條件中若出現(xiàn)“中點(diǎn)”“中線”字樣，可以考慮構(gòu)造以中點(diǎn)為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集中到同一個(gè)三角形中．

（1）解決問題：受到（1）的啟發(fā)，請(qǐng)你證明下列命題：如圖2，在△ABC中，D是BC邊上的中點(diǎn)，DE⊥DF，DE交AB于點(diǎn)E，DF交AC于點(diǎn)F，連接EF． ①求證：BE+CF＞EF；
②若∠A=90°，探索線段BE、CF、EF之間的等量關(guān)系，并加以證明

（2）問題拓展：如圖3，在四邊形ABDC中，∠B+∠C=180°，DB=DC，∠BDC=120°，以D為頂點(diǎn)作一個(gè)60°的角，角的兩邊分別交AB、AC于E、F兩點(diǎn)，連接EF，探索線段BE、CF、EF之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．

Answer 1

【答案】
（1）解：①如圖2，延長(zhǎng)ED到點(diǎn)G，使DG=ED，連結(jié)GF，GC，

∵ED⊥DF，

∴EF=GF，

∵D是BC的中點(diǎn)，

∴BD=CD，

在△BDE和△CDG中，

，

∴△DBE≌△DCG（SAS），

∴BE=CG，

∵CG+CF＞GF，

∴BE+CF＞EF；

②線段BE、CF、EF之間的等量關(guān)系為：BE2+CF2=EF2．

證明：如圖2，

∵∠A=90°，

∴∠B+∠ACB=90°，

由①可得，△DBE≌△DCG，EF=GF，

∴BE=CG，∠B=∠GCD，

∴∠GCD+∠ACB=90°，即∠GCF=90°，

∴Rt△CFG中，CF2+GC2=GF2，

∴BE2+CF2=EF2；

（2）解：線段BE、CF、EF之間的數(shù)量關(guān)系為：EF=BE+CF，

理由：如圖3，延長(zhǎng)AC到G，使CG=BE，

∵∠B+∠ACD=180°，∠ACD+∠DCG=180°，

∴∠B=∠DCG，

在△DBE和△DCG中，

，

∴△DBE≌△DCG（SAS），

∴DE=DG，∠BDE=∠CDG，

∵∠BDC=120°，∠EDF=60°，

∴∠BDE+∠CDF=60°，

∴∠CDG+∠CDF=60°，

∴∠EDF=∠GDF，

在△EDF和△GDF中，

，

∴△EDF≌△GDF（SAS），

∴EF=GF，

∵GF=CG+CF，

∴GF=BE+CF，

∴EF=BE+CF．

【解析】（1）①延長(zhǎng)ED到點(diǎn)G使DG=ED，連結(jié)GF，GC，就有EF=GF，連結(jié)FG、CG，可證△BED≌△CDG，則CG=BE，由三角形的三邊關(guān)系就可以得出結(jié)論；②由∠A=90°就可以得出∠A+∠ACB=90°，就可以得出∠FCG=90°，由勾股定理就可以得出結(jié)論；（2）延長(zhǎng)AC到G使CG=BE，連結(jié)DG可以得出△DBE≌△DCG就有DE=DG，∠BDE=∠CDG，由∠BDC=120°，∠EDF=60°，可以得出∠BDE+∠CDF=60°，進(jìn)而得出∠FDG=60°，就有∠EDF=∠GDF，得出△EDF≌△GDF，得出結(jié)論．